微分积分简要总结
这次经历了考研，虽然很驽钝，感觉考得一般，但是既然带着学习和了解知识的目的，那么，便要总结一下我学的数学知识，不忍心让它流逝而对我没什么用处。
以我觉得，数学的知识，很初级的那些，在普通生活中用的相对较多。对于高等数学这些，对于大部分人，没什么明显的作用，估计就只是考考试，锻炼下思维。
我之所以觉得既然学了，便不能放弃，是因为：
- 我希望我能够有一种思维，一种总结式的思维，什么东西，都可以尝试用函数的方式来思考，这是掌握事务准则的原则。
- 数学真的能够锻炼人的思维方式，无论是总结、探索、观察还是推理等，都很有作用。
- 若是想要从事研究工作，它是必不可少的，很多的极限条件，还只能靠它来研究。
- 凭一句话：“数学是上帝用来书写宇宙的语言”。
arithmatic
以下的所有方法，基础点都是从
函数出发，有了准确的函数，才能够有下面的方法。
这里呢，记录下感悟和理解，如有需要查看的，教科书查看之：
一 函数及其性质
我的理解： 函数是对于一个功能的描述，固定（同类或者同值）的参数传入，必定得到固定的值或者输出。简单点理解，就可以理解函数是一个功能，是一个实现了的功能。
运用： 其实函数是量与量之间的关系，是规律的表现。一个函数代表着某种规律。这就提供了一种规律思维，什么事情，要掌握规律，就试图将其“函数化”，试图找寻出其规律。
相关知识：复合函数，反函数，基本初等函数，分段函数，函数的有界性，函数的奇偶性，函数的周期性。
二 极限和连续
我的理解：极限和连续研究的是细节，深入到及其精细的地方。研究的是无限接近的情况。连续，人看来就是不断，就是连接着，而在数学上，把这种理念用定义很准确的描述了出来，在某点是否连续（不断），就是在某点上左右极限是否相同，这就保证了在着点附近无穷小的地方都是连着的。
运用：极限在知道函数时候，在需要其预估值（无穷大无穷小情况）和人的描述难以精确到的自变量的时候很有用，比如有段函数趋势图，计算其极端情况。而连续建立在极限上，主要用于分析图像于某点出的属性和特点。
相关知识：数列的极限、收敛数列之性质、函数极限、函数极限性质、无穷大无穷小、等价无穷下、洛必达法则、函数的连续和间断、极限的求法。
重要笔记：
- 极限求法
1. 对于0·∞、∞·∞类型，常常化为分数(对分子分母)进行同乘除处理，然后运用洛必达法则；
2. 对于∞^0、0^0、1^∞类型，常常化成e为底数的形式，对其指数求极限即可；
3. 等价无穷小（如果式子可被视为一项，则可以使用）；
4. 泰勒公式；
5. 换元法；
6. 二个重要极限；
7. 对于有理式，且趋向于无穷大的，上下同除去最高项变量，进行可以得到结果；
三 一元函数微分学的概念和计算
我的理解：导数，就是y轴上的变化量除以x轴上的变化量，体现的是变化率；微分是y轴上的增量，体现的是增量。都是建立在极限基础上，可以理解成：当x变化非常非常小的时候，曲线的斜率可以用直线代替，曲线y的增量，可以用直线的增量代替，就实现了化曲为直，将所有的问题都转化成局部简单的。比如要求某个地方的增量，不好入手，变将这个地方微观化，用此处直线来代替。是从面到线到点。
运用：简而言之，是一种思维：整体问题局部化。
相关知识：导数的概念、导数的几何意义、高阶导数概念、可微判别、可微的几何解释、导数计算、反函数导数、参数方程导数。
四 一元函数微分学的几何应用
我的理解：极值和拐点都是建立在了一阶导数和高阶导数的基础上的，分析的是原函数图像的性质（某个区间的max和min值和转折点），函数图像的水平、铅直和斜渐近线，分析的是函数图像临界位置的问题；
运用：极值对知晓图像，分析和得到极值和最值，很有帮助；拐点对分析图像的变化趋势很有帮助；渐近线对于确定图像（值）的边界很有作用。
相关知识：极值点和驻点、判断极值点的条件、凹凸性的定义、凹凸性的充分条件、凹凸性的充要条件、渐近线的定义
五 中值定理
我的理解：主要是在知晓图像的情况下，能够结合有限的条件对图像进行深入的分析，得到图像的相关性质，都是建立在导数和微分之上的，是链接原函数和导数之间的桥梁。
运用：在知道原函数和其导数、微分的情况下，能够根据已知一些条件进行一些特性的分析，如：平均数、零点、比例等。
相关知识：有界与最值定理、介值定理、平均值定理、零点定理、费马定理、罗尔定理、拉格朗日中值定理、柯西中值定理、带拉格朗日余项的泰勒公式。
六 一元函数积分学概念与计算
我的理解：分为定积分和不定积分，不定积分求得实际上就是导数的原函数；定积分，实际上求得是函数图像围城的面积；定积分和微分相反，要了解的是宏观的问题，借助微观了解宏观。比如求非规则体型的面积，让各个很微观的长方形的面积累加起来就是，是由点到线到面到体。
运用：在实际问题中，想要求不规则图形的面积，或者不规则图形环绕形成的体积、曲线环绕形成的图形的表面积时候，很有用。
相关知识点：不定积分、定积分、定积分相关性质、变限积分、变限积分求导、反常积分、积分的求解方法。
重要笔记：
- 积分求解
1. 结合导数目测手试法
2. 凑微分法
3. 换元法
4. 分步积分法
5. 被积分函数变形法
七 多元函数微分学
我的理解：之前所学的一元函数居多，但是像是编程，往往一个输出会受到很多输入的影响，所以多个参数，即多个因变量。再次情况下研究此函数的微分，研究各个变量的影响如：在z(x,y)单独x的影响(偏导数)，单独y的影响及x,y共同的影响(全微分)。而两个变量构成的影响因素（定义域），在坐标系中实际是一块面积。相同的，在二元或者多元的情况下研究其极值、最值等特性。
运用：面临多个因变量时候的特性分析。
相关知识：偏导数、可微、偏导数连续性、多元函数微分法则、隐函数定理、多元函数的极值和最值。
八 二重积分
我的理解：这么想，一重积分，是求面积，在定义域为一条直线的时候；二重积分，定义域为一个图形面积，所求是体积；更加验证了由点到线到面到体的过程；其对称性和次序性可以用来对其进行简化。
运用：主要用于求体积。经常是极坐标和直角坐标进行转化。分析这种题目往往都是画出图（定义域面积）进行分析。
知识点：几何背景、精确定义、其性质（可加性，保号性，估值定理，中值定理，）、普通对称和轮换对称、计算（极坐标，直角坐标，互相转化，被积分的次序的转换）
九 常微分方程
我的理解：首先是方程，普通方程是讲一个数当做未知量，而微分方程，是把一个函数当做未知量；普通方程的次数就是未知量的几次方，微分方程的次数，是函数的几阶导数。
运用：目前能想到的就是在未知的时候求函数表达式。
知识点：主要就是微分方程的解法。
重要笔记：
- 常见的形式和解法
一、一阶齐次
（1）观察法
（2）分离变量法
（3）分子分母是x,y混合的，同除化为` y/x `形式，利用换元法` u=y/x `来处理，之后按照分离变量法即可
二、一阶非齐次
（1）、形如` dy/dx+P(x)y=Q(x) `的，直接利用公式
（2）、对于特殊形式，利用换元法
三、高阶线性微分方程
（1）可降阶的
1.` y^(n)=f(x) `形式的，直接依据导数公式反化即可；
2.` y''=f(x,y') `形式的，可令` y'=p,y''=dp/dx `后，按照分离变量法计算
3.` y''=f(x,y') `形式的，可令` y'=p,y''=dp/dx=dp/dy*dy/dx=dp/dy*p `后，按照分离变量法计算
（2）不可将阶的
可分为齐次可非齐次二阶常微分方程，利用特征方程、特征根和公式来进行求解
