小波心得
2019-04-18 本文已影响26人
Kernholz
离散小波变换（Discrete Wavelet Transform，DWT）
通过将原始信号与一低通滤波器和一高通滤波器
分别卷积，得到信号的低频和高频部分，为保证信号长度不变，将得到的高频和低频部分分别进行
采样，作为信号的细节
（Detail）和近似
（Approximation）。继续对近似部分
进行同样的分解操作，最终得到的结果是
。
逆变换：重建
从开始，分别进行
采样和反卷积后相加得到
，再与
一起求解
，最终得到
，也即重建信号。
平移不变小波变换（Translation Invariant Wavelet Transform）
小波包分解（Wavelet Packet Decomposition, WPD）
小波包分解与一般的离散小波变换的区别在于，不仅将近似部分进一步分解，对于细节部分
也同样进行分解，这样每进行一层变换，子信号数目翻倍。
静止小波变换（Stationary Wavelet Transform, SWT）
不对信号进行重采样，而是在进行每一层变换时对所使用的高通和低通滤波器进行采样。
SWT得到的A和D长度均相同，且需要能整除，
为变换次数。因此，需要对原始信号补0，以使其满足要求。
提升小波变换（Lifting Wavelet Transform, LWT）
每一层变换包括“分裂--预测--更新”两个步骤：
- 分裂，即将信号分为奇数和偶数两部分
- 预测时，利用偶数信号
估算奇数信号
，预测函数为
，
，误差即为这一层的细节部分
- 更新时，将更新函数
作用于预测得到的细节部分
，
，得到这一层的近似部分
对得到的重复进行上述步骤，即可实现多层变换。
逆变换：重建
- 如果预测和更新都为线性过程，LWT可以无损还原，只要按照上面的公式反过来计算就可以。
附录：小波族
Biorthogonal （简称bior）
- bior1.1, 1.3, 1.5
- bior2.2, 2.4, 2.6, 2.8
- bior3.1, 3.3, 3.5, 3.7, 3.9
- bior4.4
- bior5.5
- bior6.8
Coiflets（简称coif）
- coif1--coif17（pywt）
Daubechies（简称db）
- db1--db45（matlab）
Symlets（简称sym）
- sym2--sym45（matlab）
Reverse Biorthogonal（简称rbio）
- rbio1.1, 1.3, 1.5
- rbio2.2, 2.4, 2.6, 2.8
- rbio3.1, 3.3, 3.5, 3.7, 3.9
- rbio4.4
- rbio5.5
- rbio6.8
Gaussian（简称gaus）
- gaus1--gaus8
Complex Gaussian（简称cgau）
- cgau1--cgau8
Fejer-Korovkin（简称fk）
- fk4, 6, 8, 14, 18, 22
Complex Shannon（简称shan）
- shan"Fb"-"Fc"（满足
）
Complex Frequency B-Spline（简称fbsp）
- fbsp"M"-"Fb"-"Fc"（
时与shan等价）
Complex Morlet（简称cmor）
- cmor-"Fb"-"Fc"
其他
- Haar（与db1等价）
- Meyer（简称meyr）
- Discrete Meyer（简称dmey）
- Mexican Hat（简称mexh）
- Morlet（简称morl）
