从卡方校验到事物间的相关性

生活中有各种各样的事物，如篮球、汽车、体育、股票等等，它们之间要么相关，要么不相关（一句废话，哈哈），也就是具有不确定性，生活就是因为各种不确定性而奇妙有趣~是否有办法确定事物间是不是相关的，比如写作与打篮球是否相关？甚至是量化这个相关程度呢？

答案是：有办法！

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该办法名叫卡方校验。在详细介绍这个“办法”之前，先来科普一点基础知识。卡方校验是一种假设检验方法，用来统计样本的实际观测值与理论推断值之间的偏差程度；卡方值越大，表示偏离程度越大，卡方值越小，则偏离程度越小，若卡方值为0，则表示没有偏差。用大白话讲就是，某个事情的实际情况 与 你认为的情况 的偏离程度。

上文中量化相关程度的问题，可转化对样本间的偏差程度衡量的问题，那如何表征偏差程度？

在高中数学中，我们学过期望E和方差σ（不记得了？简单回顾下白话版概念：期望就是所有样本的平均值，方差就是样本相对于平均值的分散程度）。如果用期望来衡量偏差程度是否可以？期望能表征样本集的综合水平，但并不能表征样本的分布情况，例如，一个50人的班级平均数学成绩是65分，用65分来定义这个班的数学水平却不完全合理，因为有可能50人中有40人是80分以上，另外10人不到10分，无疑这个班的总体水平还是比较高的，只是有少数拖后腿的拉低了平均分而已，也就是正负相抵。 而方差可以表征样本相对平均值的分散情况，恰好可以弥补期望存在的缺陷。

于是，一个好的衡量偏差程度的指标，需要综合期望和方差两个参数。我们可定义这个偏差指标为（姑且简单的理解为方差比期望吧）：

公式(1)

上式中，n表示样本的个数，i表示其中的某个样本。实际上，通过式(1)已经可以计算出偏差程度了，但看上去不太接地气，不是很好用。我们再来转化一下。

生活中最常见问题一般可以通过判断两个事物间的相关性解决（术语叫作自由度为1的卡方校验问题）。假定有两类事物——a、b，存在这样一个表：

表(1)

表（1）中的A、B、C、D分别表示在一个样本集中，a和b同时存在的样本数、存在b不存在a的样本数、存在a但不存在b的样本数、a和b都不存在的样本数，那么可以推导出卡方校验的卡方值的公式为：

公式(2)

公式(2)的推导过程，此处就不展开了，感兴趣的可自行百度（在此简单介绍下思路：通过表1中的数据，实际上可以分别介绍表中四种情况准确性，即A/B/C/D与真实值的偏差情况，套用公式1可得；因a、b事件发生是相互独立的，那么a、b事件同时发生时与真实情况的偏差就是所有四种子情况的偏差之和，最终即可推到出公式2，即a与b的卡方值。a、b的卡方值越大，表示a与b越相关，卡方值为0则表示完全不相关）。（Tips：因为相关性的表达是一个相对值，很多时候计算卡方值时，会忽略（A+B+C+D）这个常量）

接下来回到文章开头的问题：确定写作与打篮球的相关性。

以一个班级的50名同学为样本空间，打篮球的同学作为事件a，写作的同学作事件b，分别调研班上同学在表1中四个象限的人数，将相应的值带入公式2，即可得到卡方值，该值的及表示打篮球与写作在这个班级的相关性情况，值越大，则表示它们越相关。

总结一下计算俩事物间相关性的步骤：

选择合适的样本空间-->调查四个象限的样本值-->套公式。

1自由度的卡方校验，可用于解决许多日常生活中的问题，比如准备开个水果店，可利用卡方校验，确定店的选址与地铁口的相关性。后续再介绍多自由度的卡方校验及应用场景。