数学分析理论基础4：具有某些特性的函数

2018-12-18 本文已影响4人溺于恐

具有某些特性的函数

有界函数

上(下)界定义：

设f为定义在D上的函数, $\exists M(L)$ ,使 $\forall x\in D$ ,有 $f(x)\le M(f(x)\ge L)$

则称f为D上的有上(下)界函数,M(L)称为f在D上的一个上(下)界

有界函数定义：

设f为定义在D上的函数, $\exists M\gt 0$ ,使 $\forall x\in D$ ,有 $|f(x)|\le M$

则称f为D上的有界函数

例：证明 $f(x)={1\over x}$ 为(0,1]上的无上界函数

证：

$\forall M\gt 0,取x_0={1\over M+1}$

$则f(x_0)={1\over x_0}=M+1\gt M$

$\therefore f为(0,1]上的无上界函数\qquad \mathcal{Q.E.D}$

上(下)确界：

$\underset{x\in D}{sup}f(x)$ 称为f在D上的上确界

$\underset{x\in D}{inf}f(x)$ 称为f在D上的下确界

例：设f,g为D上的有界函数,证明：

$(\mathrm{i})\underset{x\in D}{inf}f(x)+\underset{x\in D}{inf}g(x)\le \underset{x\in D}{inf}\{f(x)+g(x)\}$

$(\mathrm{ii})\underset{x\in D}{sup}\{f(x)+g(x)\}\le \underset{x\in D}{sup}f(x)+\underset{x\in D}{sup}g(x)$

证：

$(\mathrm{i})\forall x\in D,有$

$\underset{x\in D}{inf}f(x)\le f(x),\underset{x\in D}{inf}g(x)\le g(x)$

$\Rightarrow \underset{x\in D}{inf}f(x)+\underset{x\in D}{inf}g(x)\le f(x)+g(x)$

$即\underset{x\in D}{inf}f(x)+\underset{x\in D}{inf}g(x)是函数f+g在D上的一个下界$

$\therefore \underset{x\in D}{inf}f(x)+\underset{x\in D}{inf}g(x)\le \underset{x\in D}{inf}\{f(x)+g(x)\}$

$(\mathrm{ii})同理可得\qquad \mathcal{Q.E.D}$

注：存在严格不等号成立的情况

例： $f(x)=x,g(x)=-x,x\in [-1,1]$

$\underset{|x|\le 1}{inf}f(x)=\underset{|x|\le 1}{inf}g(x)=-1,$

$\underset{|x|\le 1}{sup}f(x)=\underset{|x|\le 1}{sup}g(x)=1$

$\underset{|x|\le 1}{inf}\{f(x)+g(x)\}=\underset{|x|\le 1}{sup}\{f(x)+g(x)\}=0$

单调函数

定义：设f为定义在D上的函数,若 $\forall x_1,x_2\in D$ ,当 $x_1\lt x_2$ 时有

$(\mathrm{i})f(x_1)\le f(x_2)$ ,则称f为D上的增函数,严格不等号成立时称f为D上的严格增函数

$(\mathrm{ii})f(x_1)\ge f(x_2)$ ,则称f为D上的增函数,严格不等号成立时称f为D上的严格增函数

增函数和减函数统称为单调函数

严格增函数和严格减函数统称为严格单调函数

例：证明函数 $y=x^3$ 在R上严格增

证：

$\forall x_1,x_2\in R,x_1\lt x_2$

$x_2^3-x_1^3=(x_2-x_1)(x_2^2+x_2x_1+x_1^2)$

$=(x_2-x_1)[(x_2+{x_1\over 2})^2+{3\over 4}x_1^2]\gt 0$

$即x_2^3\gt x_1^3\qquad \mathcal{Q.E.D}$

严格单调函数与反函数

严格单调函数的图像与任一平行于x轴的直线至多有一个交点

定理：设 $y=f(x),x\in D$ 为严格增(减)函数,则f必有反函数 $f^{-1}$ ,且 $f^{-1}$ 在其定义域f(D)上也是严格增(减)函数

证明：

$设f在D上严格增$

$\forall y\in f(D),\exists x\in D使f(x)=y$

$下证x唯一$

$\forall x_1\in D,x_1\neq x$

$\because f在D上严格增$

$x_1\lt x时,f(x_1)\lt y$

$x_1\gt x时,f(x_1)\gt y$

$\therefore f(x_1)\neq y$

$即对每一个y\in f(D),都只存在唯一一个x\in D使f(x)=y$

$\therefore f存在反函数x=f^{-1}(y),y\in f(D)$

$下证f^{-1}也严格增$

$任取y_1,y_2\in f(D),y_1\lt y_2$

$设x_1=f^{-1}(y_1),x_2=f^{-1}(y_2)$

$则y_1=f(x_1),y_2=f(x_2)$

$\because y_1\lt y_2,f严格增$

$\therefore x_1\lt x_2$

$即f^{-1}(y_1)\lt f^{-1}(y_2)$

$\therefore f^{-1}严格增\qquad \mathcal{Q.E.D}$

例：证明： $y=a^x$ 当 $a\gt 1$ 时在R上严格增,当 $0\lt a\lt 1$ 时在R上严格减

证：

$设a\gt 1,给定x_1,x_2\in R,x_1\lt x_2$

$由有理数集的稠密性$

$\exists r_1,r_2\in Q,使x_1\lt r_1\lt r_2\lt x_2$

$\therefore a^{x_1}=\underset{r\le x_1}{sup}\{a^r|r\in Q\}\le a^{r_1}$

$\lt a^{r_2}\le \underset{r\le x_2}{sup}\{a^r|r\in Q\}=a^{x_2}$

$\therefore a^x当a\gt 1时在R上严格增$

$同理可证a^x当0\lt a\lt 1时在R上严格减\qquad \mathcal{Q.E.D}$

奇函数和偶函数

定义：设D为对称于原点的数集,f为定义在D上的函数,若对每一个 $x\in D$ 有 $f(-x)=-f(x)(f(-x)=f(x))$

则称f为D上的奇(偶)函数

奇函数的图像关于原点对称

偶函数的图像关于y轴对称

周期函数

定义：设f为定义在数集D上的函数,若 $\exists \sigma\gt 0$ ,使 $\forall x\in D,x\pm \sigma\in D$ ,有 $f(x\pm \sigma)=f(x)$

则称f为周期函数, $\sigma$ 为f的一个周期

显然,若 $\sigma$ 为f的周期, $n\sigma(n\in Z_+)$ 也为f的周期

最小的周期称为基本周期,简称周期

例：常量函数 $f(x)=c$ 以任何正数为周期,不存在基本周期

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