结构百问07-Ritz向量法

问：Ritz向量法是什么，怎么用？

Midas和SAP2000等在进行结构自振模态分析时，除了提供精确的特征值向量法外，还提供了与荷载相关的多重Ritz向量法。

SAP2000提供了特征向量法和Ritz向量法两种模态解耦的基本方法，原因是对于大型结构系统，求解自由振动振型和频率的特征值问题可能需要大量的计算工作，这时单纯的特征向量分析就可能变得比较困难，并且在自由振动振型的计算中，完全忽视荷载的空间分布。由于计算的许多振型对荷载是正交的并且不参与动态响应，因此耗费大量精力所得到的结构振动振型并不一定能够提高计算的精度，甚至有些时候没有任何帮助，这是特征向量法分析所存在的主要问题。

研究表明，对于承受动力荷载的结构，自由振动模态并非是模态叠加法最好的基础。已证明（Wilson，Yuan&  Dickens，1982）：基于一个特定荷载相关的 Ritz 向量集的动力分析，比基于同样数量的自振模态，能得到更精确的结果。相关算法详见 Wilson（1985）一书（注：《 结构静力与动力分析 》一书中译本已由中国建筑出版社出版）。

Ritz 向量能够产生更精确结果的原因是它是考虑了动力荷载的空间分布而形成的，而直接使用自振模态时忽略了这一重要信息。而且，Ritz 向量的算法包括了已证实的静力凝聚、Guyan 折减、高模态截断时的静力修正等数字技术的优点。

-《SAP2000中文版使用指南（第二版）》/《CSI分析参考手册》

个人理解其实这也是一种忽略次要矛盾，提高求解效率的做法。把影响结构动力特性的模态按重要程度排列，而不是特征值向量计算时的按周期排列。因而，Ritz向量法求解出的前几阶自振模态并不一定是最容易被激发的模态，而是更有效的模态。从而，在求解同样多模态数量的情况下，Ritz向量法可以得到更大的结构质量参与系数。

Ritz向量法需要定义初始荷载向量，常见的做法是定义X、Y、Z三个方向的地面加速度作为初始荷载向量。Ritz向量法对结构的准确性要求较高，子空间迭代法或者Lanczos法在有警告情况下可以运行的结构，在Ritz向量法下可能就无法运行。之前就遇到过约束释放异常，特征值向量求解时没管，等换到Ritz向量法时无法计算的情况。另一方面来看，Ritz向量法也可以作为检查建模可靠性的一种手段。

Ritz向量法还需要定义结构的质量。在中国规范中，结构动力分析以及结构地震作用计算基于建筑的重力荷载代表值。SAP2000中通过定义质量源的方式实现，Midas中则通过荷载转换为质量方式实现。

-2015年11月6日