初高中衔接讲座：根式方程

2022-05-06 本文已影响0人易水樵

在实数集内解方程：

（1） $\sqrt{x+\sqrt{2x-1}}+\sqrt{x-\sqrt{2x-1}}=1$

（2） $\sqrt{x+\sqrt{2x-1}}+\sqrt{x-\sqrt{2x-1}}=\sqrt{2}$

（3） $\sqrt{x+\sqrt{2x-1}}+\sqrt{x-\sqrt{2x-1}}=2$

【解】

我们先引入一个函数： $y=\sqrt{x+\sqrt{2x-1}}+\sqrt{x-\sqrt{2x-1}}$

在实数集内讨论，该函数的定义域满足以下不等式：

$2x-1 \geqslant 0$

$x- \sqrt{2x-1} \geqslant 0$

解得： $x \geqslant \dfrac{1}{2}$

另一方面，

$y^2=x+\sqrt{2x-1} + x-\sqrt{2x-1} + 2\sqrt{x^2-2x+1}$

$=2x + 2|x-1|$

当 $\dfrac{1}{2} \leqslant x \leqslant 1$ ， $y^2=2, \; y=\sqrt{2}$ ,

当 $x \gt 1$ ， $y^2=4x-2, \;y \gt \sqrt{2}$ ,

当 $x=\dfrac{3}{2}$ , $y^2=4, y=2$ , 即 $\sqrt{x+\sqrt{2x-1}}+\sqrt{x-\sqrt{2x-1}}=2$ 成立.

综上所述，方程（1）在实数集内无解；

方程（2）的解为 $\dfrac{1}{2} \leqslant x \leqslant 1$ ;

方程（3）的解为 $x=\dfrac{3}{2}$ .

【提炼与提高】

这是一道竞赛题，因为比较接地气，所以被众多教辅书选录.

解答此题所需要的知识和方法，其实在教科书上都有介绍。区别在于：在灵活性和严谨性方面对学生的要求更高一些。

在上高中前强化训练一下，是很有好处的。