关于求N以内素数的python实现以及优化方法

一、素数的定义

​ 质数（prime number）又称素数，有无限个。除了1和它本身以外不再有其他的除数整除。从定义知道；1不是素数，最小的素数是2。

二、N以内素数常用实现方法

​ 首先教科书写法（暂时不做任何代码优化）：

import math
def prime(n):
    if n <= 1:
        return 0
    #for i in range(2,int(math.sqrt(n)+1)):
    for i in range(2,n):
        if n%i == 0:
            return 0
    return 1
if __name__ == "__main__":
    n = int(input(">>"))
    for i in range(2,n+1):
        if prime(i):
            print (i)

​ 代码中注释行是取了[2,√n+1]作为除数范围，通过对比测试，显然，[2,√n+1]范围下，效率快了很多。

三、优化方法

原理层面

​ 1、除了2以外，其余的偶数显然不可能是素数，再来看奇数，1不是素数，从3开始看，除了3以外，其余能被3整除的都是合数，再看5，除了5以外，其余能被5整除的都是合数，加起来，一共在[2,√n+1]范围内排除了近3/4的计算量。

​ 2、另外使用埃拉托斯特尼筛法（希腊语：κόσκινον Ἐρατοσθένους，英语：sieve of Eratosthenes ），简称埃氏筛，也有人称素数筛。这是一种简单且历史悠久的筛法，用来找出一定范围内所有的素数。

所使用的原理是从2开始，将每个素数的各个倍数，标记成合数。一个素数的各个倍数，是一个差为此素数本身的等差数列。

算式：
给出要筛数值的范围n，找出\sqrt{n}以内的素数 p₁,p₂,...,p_k
先用2去筛，即把2留下，把2的倍数剔除掉；再用下一个素数，也就是3筛，把3留下，把3的倍数剔除掉；接下去用下一个素数5筛，把5留下，把5的倍数剔除掉；不断重复下去......。

Eratosthenes原理

def eratosthenes(n):
    IsPrime = [True] * (n + 1)
    IsPrime[1] = False
    for i in range(2, int(n ** 0.5) + 1):
        if IsPrime[i]:
            for j in range(i * 2, n + 1, i):
                IsPrime[j] = False
    return {x for x in range(2, n + 1) if IsPrime[x]}

if __name__ == "__main__":
    print (eratosthenes(n))

代码层面

第一种优化思路：

import math
def prime(n):
    if n%2 == 0:
        return n==2
    if n%3 == 0:
        return n==3
    if n%5 == 0:
        return n==5
    for p in range(7,int(math.sqrt(n))+1,2):    #只考虑奇数作为可能因子
        if n%p == 0:
            return 0
    return 1

if __name__ == "__main__":
    n = int(input(">>"))
    for i in range(2,n+1): #1不是素数,从2开始
        if prime(i):
            print i

​ 再来实现第二种思路，代码如下：

#寻找n以内的素数，看执行时间，例子100000内的素数

def prime(n):
    flag = [1]*(n+2)
    p=2
    while(p<=n):
        print p
        for i in range(2*p,n+1,p):
            flag[i] = 0
        while 1:
            p += 1
            if(flag[p]==1):
                break

# test
if __name__ == "__main__":
    n = int(input(">>"))
    prime(n)

统一测试下差异很清楚。第二种方法要优于第一种，再优化下代码
首先，将range换成xrange，再测试下：两种方法速度都有提升。range和xrange的差异，range是一次性连续返回一个列表，而xrange是每次只生成一个，并且不保留上次生成的值。

​致命错误:
对于range(2*p,n+1,p)，还有一种实现方法，range(2*p,n+1)[::p]，但这两种写法，完全不相干，range(2*p,n+1,p)返回的列表就是按照p步长来生成的，而range(2*p,n+1)[::p]，是生成了步长为1的列表，最后列表执行切片操作，只取p步长的值返回，显然没有range(2*p,n+1,p)的实现更为直接，两者虽然返回值一样，但经过实际测试发现，效率差异非常大，甚至可以颠覆算法的优势。

​在这几种方案中，最后一种速度最快，效率最高，但有个应用前提，就是待搜索列表必须是有序且连续的，所以比较适合N以内符合某条件的数字。