掷骰子

可以测度的概率

起源

对于概率的模糊的想法很早就有了。我想即使是没有接触过概率论的人，根据自己的经验也能模糊地判断事情发生的概率。

概率论这门学科的真正创始，从一个伟大的概念开始：概率是可以测量的。

只有概率是可以测量的，它才能成为数学领域里的一个分支，因为数学必须是逻辑的、清楚的。这个伟大的奠基概念大概直到16-17世纪才形成。

这个过程相当的漫长，从后来人的角度来看颇有些不可思议。概率应该是伴随着人类活动就已经模糊地产生了。比如应用最广泛的赌博，这项活动和人类的历史几乎等长了。而与之相关的概率问题竟然是近几个世纪才得到人们的研究。

测量的哲学矛盾

测量过程通常都是这样的，先找到一个标准，比如长度标准，用这个标准去丈量其他东西包含几个的标准长度。

它的矛盾在于这是一个循环论证过程。我们的目的是定义长度，但我们一开始就采用了假定的长度标准。

循环论证是一种伪证。

但是这种矛盾无伤大雅，这种测量活动最终帮助人们完善了长度的概念。

概率的测度

与长度的概念建立方式相似，概率同样依靠这种伪证完善了概念。

在测量开始前，率先找到同等可能性情况，作为“长度标准”，然后计数这些情况发生的次数，丈量事件A包含几个这样的基本等可能情况。事件A发生的概率为

这个式子就代表了概率的测度方式。基于这个定义，随即衍生出概率论的三大公理。这三大公理即是这个学科的奠基石。

这三大公理被称作柯尔莫果洛夫公理。

• 公理1：概率永远不可能为负值。或者进一步说事件的概率在之间。
• 公理2：如果所有可能发生的情况中均包含事件A，则
• 公理3：如果事件A和事件B不会同时发生，则

我并没有写出其更严谨的说明方式，因为那还要建立关于集合、样本、样本空间这样的概念。

基于这三条公理，很容易得出。

掷骰子

在测度概率的时候，第一步是找到“长度标准”，也就是创建等概率情况。

掷骰子一直都是概率论研究的重点研究对象，但事实上骰子本身并非完全公平，各个面削去不同的点数会让骰子的重心发生变化。尽管如此，它并不妨碍对概率的研究，我们仍旧将掷出每一个点的事件视作等概率。

17世纪早期，伽利略和托斯卡纳大公爵之间的往来信件里提到了关于掷骰子的问题。公爵写道

投掷3枚骰子时，得到10点和11点的数字组合方式各有6种，9点和12点同样如此。但是众所周知，骰子玩家通过长期观察发现，掷出10点和11点的可能性比9点和12点可能性更大。

伽利略的回信指出，公爵在计算9点和10点的可能情况时，把三个3点记作一种可能，把两个3点和一个4点也记作一种可能，这种方法是错误的。比如后者涵盖了(3,3,4)(3,4,3)(4,3,3)三种可能，区别是哪一个骰子掷出了4。而前者确实只有一种可能(3,3,3)

在他们的往来信件中，“独立性”的概念已经得到了双方的默认。对于掷骰子，掷出每一种结果的概率是相等的。

下面让我们看看掷出3枚骰子到底是什么结果吧。

掷出3枚骰子的所有结果

当把所有的sum单独列成一张表。

所有组合的和的情况 不同和的次数

以柱形图表示

不同和的次数

从结果可以看出掷出10或11的概率确实高于掷出9或12的概率。而错误就出现在排列和组合的差异上。可以观察如下和为9及和为10的组合、

和为9及和为10的情况

投掷三个骰子的结果必须得用三维坐标展现，(3,3,4)(3,4,3)(4,3,3)是不同的点。

我们可以把问题简化为投掷两个骰子的情况。

坐标展示

每一条经过点的斜率为-1的直线都代表线上的点和相等。

和的情况

(1,1)...(6,6)只有一种；但(2,4)(4,2)是有两种情况的。

独立性概念之后还有更重要的概念期望。