球体刨去一个球问题

2019-04-08 本文已影响0人翔予

$\color{red}{图一}$

题目重现:这是一个球 $O_1$ ，电荷密度为 $\rho$ ，现在挖去一个半径为 $R_1$ 的球体 $O_2$ ，球 $O_1$ 到 $O_2$ 之间的距离为 $D$ ，求 $O_2$ 球体腔内的任意一点的场强。
解:
设:该球体由一个圆心 $O_1$ 的带正电密度 $+\rho$ 的完整大球和圆心 $O_2$ 带负电密度 $-\rho$ 的完整小球两个对 $O_2$ 内的某点的电场矢量和

如图:

$\color{red}{图二}$

1.证明场强处处相等:

在球内找一点 $p_2$

如图:

令 $O_1 P=R,O_2 P=r$
现在求大球对 $p_2$ 的场强:
$\vec{E_R}=\frac{\vec{R}\rho}{3\epsilon_0}$
$\vec{E_r}=\frac{\vec{r}\rho}{3\epsilon_0}$
（可由高斯定理得出，在此不予给出过程）

$\vec{E_R}$ 和 $\vec{E_r}$ 都是两个球对 $p_2$ 点的单独场强
现在将他们根据矢量三角形求和
得: $\vec{E_和}=\frac{（\vec{R}+\vec{r} ）\rho}{3\epsilon_0}=\frac{\vec{O_1 O_2}\cdot\rho}{3\epsilon_0}$
则 $\vec{E_和}$ 在 $O_2$ 球内是恒为定值的，故证出场强在 $O_2$ 里处处相等
2.求特解:
在 $\color{red}{图一}$ 中
存在一点 $P_1$ 则是选择出的特殊点。
求两个完整球对 $P_1$ 的场强和（在 $\color{red}{图二}$ 中）
大球: $\oint E\cdot ds=\frac{Q_p}{\epsilon_0}$
（ $O_1 P_1=D-R_2$ ）
$E_大\cdot 4\pi （D-R_2）^2=\frac{4\pi （D-R_2）^3\cdot \rho}{\epsilon_0}$
最后得出 $E_大=\frac{\rho （D-R_2）}{3\epsilon_0}$
小球: $\oint E\cdot ds=\frac{Q_p}{\epsilon_0}$
（ $O_2P_1=R_2$ ）
$E_小\cdot 4\pi R_2^2=\frac{4\pi R_2^3\cdot \rho}{3\epsilon_0}$
最后得出 $E_小=\frac{\rho R_2}{3\epsilon_0}$
则: $E_和=\frac{\rho D}{3\epsilon_0}$
得解:求出大球体刨除一个小球后空腔内的场强为
$E_和=\frac{\rho\cdot D}{3\epsilon_0}$

球体刨去一个球问题

如图:

如图:

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