高中数列之目~裂项求和：2017年理数全国卷B题15

2021-01-15 本文已影响0人易水樵

等差数列 $\{a_n\}$ 的前 $n$ 项和为 $S_n,a_3=3,S_4=10$ ，则 $\displaystyle \sum_{k=1}^{n} \dfrac{1}{S_k}=\underline{\mspace{100mu}}$ .

【解】

由已知条件可得：

$a_1+2d=3$

$4a_1+6d=10$

解得： $a_1=1,\; d=1$

所以， $S_n=\dfrac{1}{2}n(n+1)$

$\dfrac{1}{1 \times 2}+ \dfrac{1}{2 \times 3}+ \dfrac{1}{3 \times 4}+\dots+ \dfrac{1}{n(n+1)}$

$=1-\dfrac{1}{2}+\dfrac{1}{2}-\dfrac{1}{3}+\dfrac{1}{3}-\dfrac{1}{4}+\dots +\dfrac{1}{n} -\dfrac{1}{n+1}$

$=1-\dfrac{1}{n+1}$

结论： $\displaystyle \sum_{k=1}^{n} \dfrac{1}{S_k}=2 -\dfrac{2}{n+1}$ .

【提炼与提高】

裂项求和是高中数列中一项标准的方法。细心一些，避免计算出错即可。具体说来有几点：

1）首项和尾项的值不要搞错。

2）以本题为例， $S_n$ 中有个 $\dfrac{1}{2}$ ，这个是在分母上，不要忘记，不要放错位置。