微积分的本质（3）（完）

1. 积分与微积分基本定理

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• 事实上，有无数个原函数（因为常数的导数为 0，所以可以给原函数增加一个常数项 C），但是积分的下限确定了 C 的值。

  
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• 对任意函数求积分的时候，是在把 x 在一定范围内的所有 f(x)*dx 值加起来，然后求 dx 趋近于 0 时，加和趋近的值。

• 求积分的第一步是找原函数，使其导数等于积分内的函数。

  
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• 负面积需要减掉

  
  

2. 面积和斜率

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• sin(x)（高度）的平均值就是原函数（cos(x)）从 x=0 到 x=pi 所有切线斜率的平均值。

  
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• 从这个角度考虑，在某一区间上的所有切线的平均斜率就等于起点和终点连线的斜率。

  
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3. 高阶导数

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• 二阶导数为斜率的变化（凸函数或者凹函数）

• 二阶导数就是变化量的变化量比上（dx）2

  
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• 高阶函数的最大作用就是帮助我们得到函数的近似

4. 泰勒级数

• 泰勒级数是利用函数某单个点的导数，来近似这个点附近函数的值

  用导数的方法去找近似

• 高阶导数值的信息，转换成在那一点附近函数值得信息

• 阶乘的形式是自然而然出现的。

• 往近似多项式中添加更高次项时，低阶的项并不会因此而改变。多项式任意 n 阶的导数在 x=0 时的值都由唯一的一个系数控制。

  
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• 泰勒多项式

  
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• ex 的泰勒多项式

  
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• 用几何来解释泰勒多项式的二次项

  
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