近世代数理论基础4：整除·欧式除法

2019-02-09 本文已影响5人溺于恐

整除·欧式除法

整除

定义：设 $a,b\in Z$ ,若 $\exists q\in Z$ 使 $a=bq$ ,则称b整除a,或a可被b整除,记作 $b|a$ ,此时b为a的因数,a为b的倍数,若上述q不存在,则称b不能整除a,或a不能被b整除,记作 $b\nmid a$

整除的性质

定理：

1. $b|a,c|b\Rightarrow c|a$

2. $m|a,m|b\Rightarrow m|(a\pm b)$

3. $m|a_1,m|a_2,\cdots,m|a_n\Rightarrow \forall q_1,q_2,\cdots,q_n\in Z,有m|(q_1a_1+q_2a_2+\cdots+q_na_n)$

证明：

$\because m|a_i$

$\therefore \exists r_i\in Z使a_i=r_im,i=1,2,\cdots,n$

$\therefore q_1a_1+q_2a_2+\cdots+q_na_n=(q_1r_1+q_2r_2+\cdots+q_nr_n)m$

$又q_1r_1+q_2r_2+\cdots+q_nr_n\in Z$

$\therefore m|(q_1a_1+q_2a_2+\cdots+q_na_n)\qquad\mathcal{Q.E.D}$

带余除法

定理：若 $a,b\in Z,b\gt 0$ ,则 $\exists ! q,r\in Z$ 使 $a=bq+r,0\le r\lt b$

(注：q称为b除a所得的不完全商,r称为b除a所得的余数)

证明：

$考虑整数序列\cdots,-3b,-2b,-b,0,b,2b,3b,\cdots$

$则a必在上述序列的某相邻两项之间$

$即\exists q\in Z使qb\le a\lt (q+1)b$

$令r=a-qb,则a=qb+r,0\le r\lt b且r\in Z$

$设q_1,r_1\in Z也满足a=q_1b+r_1,0\le r_1\lt b$

$则q_1b+r_1=a=qb+r$

$\therefore b(q-q_1)=r_1-r$

$\therefore b|q-q_1|=|r_1-r|\lt b$

$\therefore q_1=q$

$\therefore r_1=r\qquad\mathcal{Q.E.D}$

公因数

定义：设 $a,b\in Z$ ,若 $d|a且d|b$ ,则称d为a与b的一个公因数,a与b的公因数中最大者称为a与b的最大公因数,并记为 $gcd(a,b)$ 或 $(a,b)$ ,若 $(a,b)=1$ 则称a与b互素

例：

$\forall a\in Z,有(a,1)=1$

$若a\neq 0,则(0,a)=|a|$

定理

定理：设 $a,b,c\in Z$ ,且不全为零, 若 $a=bq+c$ ,其中 $q\in Z$ ,则 $(a,b)=(b,c)$

证明：

$设d为a与b的任一公因数$

$则d|a,d|b$

$\therefore d|(a-bq)$

$即d|c$

$\therefore d也为b与c的公因数$

$同理可知b与c的任一公因数也为a与b的公因数$

$即a,b与b,c有完全相同的公因数$

$\therefore 他们有相同的最大公因数$

$即(a,b)=(b,c)$

欧氏除法(辗转相除法)

计算任意两个整数a与b的最大公因数的方法：

设 $a,b\in N$ ,由带余除法,有

$a=bq_1+r_1,0\lt r_1\lt b$

$b=r_1q_2+r_2,0\lt r_2\lt r_1$

$r_1=r_2q_3+r_3,0\lt r_3\lt r_2$

$\cdots$

$r_{n-2}=r_{n-1}q_n+r_n,0\lt r_n\lt r_{n-1}$

$r_{n-1}=r_nq_{n+1}+r_{n+1},r_{n+1}=0$

$\because b\gt r_1\gt r_2\gt \cdots\gt r_n\gt r_{n+1}\gt \cdots$

$\therefore \exists n使r_{n+1}=0$

$\therefore r_{n}=(0,r_n)=(r_{n+1},r_n)=(r_n,r_{n-1})=\cdots=(r_1,b)=(a,b)$

定理

定理：设 $a,b\in Z$ ,且不全为零,则 $\exists s,t\in Z$ 使 $as+bt=(a,b)$

证明：

$令r_{-1}=a,r_0=b,则$

$r_{-1}=1\cdot a+0\cdot b$

$r_0=0\cdot a+1\cdot b$

$r_1=1\cdot a+(-q_1)\cdot b$

$令r_i=P_i\cdot a+Q_i\cdot b$

$由r_{n-2}=r_{n-1}q_n+r_n可知$

$r_n=r_{n-2}-q_nr_{n-1}$

$=(P_{n-2}\cdot a+Q_{n-2}\cdot b)-q_n(P_{n-1}\cdot a+Q_{n-1}\cdot b)$

$=(P_{n-2}-q_nP_{n-1})\cdot a+(Q_{n-2}-q_nQ_{n-1})\cdot b$

$=P_n\cdot a+Q_n\cdot b$

$当k\ge 1时,有如下递推关系$

$\begin{cases}P_k=P_{k-2}-q_kP_{k-1}\\ Q_k=Q_{k-2}-q_kQ_{k-1}\end{cases}$

$\begin{cases}P_{-1}=1\\Q_{-1}=0\end{cases}$

$\begin{cases}P_0=0\\Q_0=1\end{cases}\qquad\mathcal{Q.E.D}$

定理

定理：设 $a_1,a_2,\cdots,a_n\in Z$ 且不全为零,d为 $a_1,a_2,\cdots,a_n$ 的最大公因数0

令 $d_2=(a_1,a_2),d_3=(d_2,a_3),d_4=(d_3,a_4),\cdots,d_n=(d_{n-1},a_n)$

则 $d=d_n$

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