真理与超越：数学的起源、本质及目的（4）

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第一章：统一性（之三）

拉里·L·齐默曼于2015年9月9日 发表

非欧几何

在1850年之前，上帝经常被认为是数学的创造者。然后非欧几何的发展使数学到达了青春期，并导致数学家们，正如莫里斯·克莱因所言，“他们必须设法站在自己的立场上。他们不再记录自然，他们解释。”（25）

事实上，如果有哪一部分的数学能够被归于人类的发明，那它就是非欧几何。但说那些“发明者”正在“解释”自然，很显然的是不正确的，因为这些几何图形是在抽象的纯智力练习中揭开的，从“如果…………？”开始。他们是数学家在证明欧几里得的第五公设是依赖于其他公设的不成功尝试中的副产品。一种方法是否定假设，并检查由此产生的矛盾中的藴涵式。

在1850年之前，上帝经常被认为是数学的创造者。

欧几里的公设等价那个假设，也就是在一个平面上，通过给定的点而不是给定的直线，只有一条线平行于直线。反过来，这就等价于假设三角形的三个内角之和等于两个直角的之和。由此产生的几何图形有时被称为“抛物线的（parabolic）”。

约翰·波尔约（John Bolyai ）和尼古拉·I.罗巴切夫斯基（Nikolai I. Lobachevsky ）独立地提出了一列不矛盾的状态——一种新的几何——通过假设至少有两条平行线，或者，相应地，三角形的内角之和小于两个直角的和。这种几何被称为“双曲几何”。后来，乔治·F.B. 黎曼（Georg F.B. Riemann ）通过假设没有平行线，或者三角形的内角之和大于两个直角的和，发现了另一种几何（椭圆形的）。这种几何是在球面上的。（实际上，黎曼不仅改变了欧几里得的第五公设，而且改变了至少一个欧几里得的暗示假设。）

这些几何图形——它们的假设相互矛盾，但内部机构始终一致——在数学的统一性中似乎是一个缺陷。他们似乎支持这样一种观点，即在自己的想象范围内，数学家完全是自由的，可以构建自己喜欢的世界。他想要想象的是他自己的随想曲（caprice）；他并没有发现宇宙的基本原理，也没有了解到上帝的想法。（26）

居住在19世纪中期的数学世界中的人或许可以原谅他们缺乏远见，因为他们急于将独特的新几何引入到所有数学的所有权中。毕竟，如果数学的统一性是虚构的，那么也许人真的能独立地发明出。在这种假设下，它应该反映出自由和破碎，在其中新的几何就是“展览品 A”。

注视历史的边缘，克莱因应该知道得更多，并且事实证明，他确实是这样的。在他的《西方文化中的数学》一书中，有几页来自他先前的声明，他承认，“......在一种公理的基础之上，用其他三种几何的定理导致专门的投影几何定理这种方式，建立投影几何是可能的。换句话说，所有四个几何的内容现在都被整合到一个和谐的整体中了。”（27）

他暗指的是菲利克斯·克莱因（Felix Klein）的工作。菲利克斯·克莱因在凯利（Cayley ）和卡尔·G.C.冯·施陶特（Karl G.C. Von Staudt）所建立的基础上证明了，如果考虑数学背景在内的话，在“其他三种几何”之间没有矛盾。在不同的参考系中使用“平行”而不去识别它们(就像一些数学家所做的那样)，就相当于在不给背景的情况下使用“驱动器”这样的词——高尔夫？道路？汽车？篮球？牛？当上下文框架被识别时，困难就消失了。正如凯利（Cayley）所宣称的，“投射几何是所有的几何。”（28）

关于数学的统一性和那种在并不知道那条轨迹将引领他们到何方的情况下数学家们真正遵循的是某个人的强有力的思想所留下的蒸汽轨迹的观点的进一步证据来自H.W.特恩布尔（H.W. Turnbull.）。提到那之后，特恩布尔说，冯·施陶特“揭示了为所有类型的几何所共用的坚实基础。”

最值得注意的是，尽管使用了不必要的假设，但帕普斯（Pappus）和笛莎格（Desargues）实际上已经触及了几何的基本定理。他们为正确的结果提供出了错误的理由，同样的事情在微积分中也经常发生。（29）

P.s.

1-括号里的数字为注释；

2-注释及英语原文请参考网站：https://answersingenesis.org/answers/books/truth-transcendent/