整数与浮点数知识都在这里了

一 整数

首先我们来讲一讲背景，整数在不同的平台下可能会有不同的大小，一般来说都是4个字节，也就是32位，但是在一些老的平台上可能会占用两个字节，也就是16位。这里指定整数就是32位的整数，然后对32位的整数的表示范围进行分析。

1. 无符号整数

整数要分正数和负数，但是对于一个无符号整数来说，他只有正，标准中是用第一位标志正负，0代表正，1代表负。因为无符号整数不用一位去标识，所以对于无符号整数来说，所有位数为都为1即为最大，都为0为最小。

对于一个位数为w的二进制数：

那么无符号整数计算方式为：

下面测验一下最大的无符号整数：

int main(void) {
    //cout << sizeof(unsigned int) << endl;
    unsigned int unMax = 0b11111111111111111111111111111111;
    cout << "位都为1的无符号整数为：" << unMax << endl;
    cout <<"最大无符号整数为：" << UINT32_MAX << endl;
    return 0;
}

结果：
位都为1的无符号整数为：4294967295
最大无符号整数为：4294967295

0b表示二进制。

2. 有符号整数

与一般人的直觉不同，有符号整数的表示并不是单独用一位来表示正负，而是采用补码的方式最大限度的利用了所有的位数。
对于一个位数为w的二进制数： 补码计算方式为：

根据等比数列求和公式：补码最后一项的最大和 (所有均为1时) 为： 所以在第一位为1时，就决定了这一定是一个负数，相反的，在第一位为0时，说明一定为正数，那么其表示范围为多少？做实验：

int main(void) {
    int intMax = 0b01111111111111111111111111111111;
    int intMin = 0b10000000000000000000000000000000;
    cout << "首位为0其余都为1的32位整数为：" << intMax << endl;
    cout <<"最大整数为：" << INT_MAX << endl;
    cout << "首位为1其余都为0的32位整数为：" << intMin << endl;
    cout <<"最大整数为：" << INT_MIN << endl;
    return 0;
}

结果：
首位为0其余都为1的32位整数为：2147483647
最大整数为：2147483647
首位为1其余都为0的32位整数为：-2147483648
最大整数为：-2147483648

为什么要用补码的方式而不是像无符号整数那样计算，然后单独用一位表示正负呢？
如果我们用一位来表示正负，其他的按照无符号整数那么计算，那么0就会出现两次，浪费了一个数字的表示空间。

3 表示范围

正如之前计算的一样：

• 最大无符号整数 = 11111111111111111111111111111111(二进制) = 4294967295 (十进制)
• 最小无符号整数 = 0000000000000000000000000000(二进制) = 0 (十进制)
• 最大正整数 = 01111111111111111111111111111111(二进制) = 2147483647(十进制)
• 最小负整数 = 10000000000000000000000000000000(二进制) = -2147483648(十进制)
• 全为1的有符号整数 = 11111111111111111111111111111111(二进制) = -1(十进制)
• 全为0的有符号整数 = 00000000000000000000000000000000(二进制) = 0(十进制)

二 浮点数

1 标准浮点数形式

• 符号位：浮点数有单独的一位来表示正负:第1位为零的时候为正，第1位为一的时候为负。
• 尾数值：表示小数点后面的值，比如

• 阶码值：就是2的多少次方。

  
  image.png

以下内容的M, E, s皆遵从上述定义。

2 单，双精度浮点数表示

名称	单精度长度	双精度长度
符号(sign)	1	1
尾数(frac)	23	52
阶码(exp)	8	11

也就是说对于一个32位的浮点数float来说，他有一位是符号位，23位是尾数位，8位为阶码位。对于一个64位的double浮点数来说他有一位是符号位，52位是尾数位，11位阶码位。

可以看到，尾数位越多，那么这个浮点数能表示的数字就越精确，如果阶码位越多，那么浮点数能表示的范围就越大，但是同样的，它能表示的这个不连续区间的间隔就越大，说白了计算机是用一系列固定数量的离散点描述浮点数，离散点个数是确定的，如果想表示更大的浮点数，就得接受离散点之间的相对举例增大，也就是说浮点数不够精确。

3 单精度浮点数细节（标准情况）

下面以单精度浮点数为例，解释一下具体的浮点数计算，双精度浮点数和单精度浮点数大同小异。

先来说一说阶码，如果不用符号位或者补码的方式，那就是没有正负的，对于指数来说，负指数代表的是除法，只有这样才会出现浮点数，IEEE754标准人为的规定了一个偏移值，阶码的计算值减去这个偏移值才是真实的阶码值。

这里有一个小工具：IIEEE754计算器

阶码的实际值计算：

对于32位浮点数：,
阶码全为0和全为1是两种特殊情况，会走不同的逻辑：所以阶码本身的范围为：
阶码的实际表示范围为：，

尾数值：

假设尾数值的二进制转十进制值为，那么实际值，例如：

3 单精度浮点数细节（非规格化情况）

或许你注意到了，按照之前的表示方式，0是没有办法精确表示的，对于一个32位的正浮点数，最接近0的数为：
,问题很大。

image.png

所以指定了，当阶码位全为0时，走入非规格化逻辑：

• 阶码实际值为：
• 尾数实际值:
  所以：
  

4 特殊情况

阶码位全为1时为特殊情况：

• (1) 当小数位都为0时表示无穷，s为0表示正无穷，s为-1表示负无穷。

  
  image.png
  image.png

• (2) 当小数位不全为0时表示溢出(NaN)。

  
  image.png

5 一些特殊浮点数

• (1) 大于0的最小浮点数:
  手动计算器算的值：
  image.png
  现成工具计算的值：
  image.png
• (2) 标准规格下最接近于0的值：
  
• (3) 最大存在的浮点数：
  
• (4) 1的准确表示：
  
• (5) 负数与整数完全对称，就不赘述了。

6 总结

最后以一个小例子结尾：

如果以较高精度输出，f会是准确值吗？

int main(void) {
    float f = 0.023 + 0.1;
    cout << "f = " << setprecision(12) << f << endl;
    return 0;
}
结果：
f = 0.123000003397

浮点数并不像整数那样可靠，所以在计算浮点数的时候，你的加减乘除的顺序可能就会得到不同的计算结果，所以对待浮点数一定要谨慎，在对浮点数精度要求比较高的情况下，可以考虑使用BigDecimal。