高考数学全国卷概率统计大题：2018~2022年

2023-05-17 本文已影响0人易水樵

2018年全国卷一题20

某工厂的某种产品成箱包装，每箱 $200$ 件，每一箱产品在交付用户之前要对产品作检验，如检验出不合格品，则更换为合格品. 检验时，先从这箱产品中任取 $20$ 件作检验再根据检验结果决定是否对余下的所有产品作检验. 设每件产品为不合格品的概率都为 $p(0\lt p\lt 1)$ ，且各件产品是否为不合格品相互独立

（1）记 $20$ 件产品中恰有 $2$ 件不合格品的概率为 $f(p)$ ，求 $f(p)$ 的最大值点 $p_0$ .

（2）现对一箱产品检验了 $20$ 件，结果恰有 $2$ 件不合格品，以（1）中确定的 $p_0$ 作为 $p$ 的值，已知每件产品的检验费用为 $2$ 元，若有不合格品进入用户手中，则工厂要对每件不合格品支付 $25$ 元的赔偿费用.

(i)若不对该箱余下的产品作检验，这一箱产品的检验费用与赔偿费用的和记为 $X$ ，求 $EX$ ；

(ii)以检验费用与赔偿费用和的期望值为决策依据，是否该对这箱余下的所有产品作检验?

2018年全国卷二题18

下图是某地区 2000 年至2016 年环境基础设施投资额 $y$ （单位：亿元）的折线图.

为了预测该地区 2018 年的环境基础设施投资额，建立了 $y$ 与时间变量 $t$ 的两个线性回归模型. 根据 2000 年至 2016 年的数据( 时间变量 $t$ 的值依次为 $1,2,\cdots,17$ ) 建立模型①： $\hat{y}=-30.4+13.5t$ ；根据 2010 年至 2016 年的数据 (时间变量 $t$ 的值依次为 $1,2,\cdots,7$ ) 建立模型② ： $\hat{y}= 99+17.5t$ .

（1）分别利用这两个模型，求该地区 2018 年的环境基础设施投资额的预测值；

（2）你认为用哪个模型得到的预测值更可靠? 并说明理由.

2018年全国卷三题18

某工厂为提高生产效率，开展技术创新活动，提出了完成某项生产任务的两种新的生产方式. 为比较两种生产方式的效率，选取 $40$ 名工人，将他们随机分成两组，每组 $20$ 人. 第一组工人用第一种生产方式，第二组工人用第二种生产方式. 根据工人完成生产任务的工作时间 (单位 min )绘制了如图所示的茎叶图：

（1）根据茎叶图判断哪种生产方式的效率更高？并说明理由；

（2）求 $40$ 名工人完成生产任务所需时间的中位数 $m$ ，并将完成生产任务所需时间超过 $m$ 和不超过 $m$ 的工人数填入下面的列联表:

（3）根据 (2) 中的列联表，能否有 $99\%$ 的把握认为两种生产方式的效率有差异?

附： $K^2=\dfrac{n(ad-bc)^2}{(a+b)(c+d)(a+c)(b+d)}$

$P(K^2\geqslant k)$	$0.050$	$0.010$	$0.001$
$k$	$3.841$	$6.635$	$10.828$

2019年全国卷一题21

为治疗某种疾病，研制了甲、乙两种新药. 希望知道哪种新药更有效，为此进行动物试验. 试验方案如下：每一轮选取两只白鼠对药效进行对比试验. 对于两只白鼠，随机选一只施以甲药，另一只施以乙药. 一轮的治疗结果得出后，再安排下一轮试验. 当其中一种药治愈的白鼠比另一种药治愈的白鼠多 $4$ 只时，就停止试验，并认为治愈只数多的药更有效. 为了方便描述问题，约定：对于每轮试验，若施以甲药的白鼠治愈且施以乙药的白鼠未治愈则甲药得 $1$ 分，乙药得 $-1$ 分；若施以乙药的白鼠治愈且施以甲药的白鼠未治愈则乙药得 $1$ 分，甲药得 $-1$ 分；若都治愈或都未治愈则两种药均得 $0$ 分. 甲乙两种药的治愈率分别记为 $\alpha$ 和 $\beta$ ，一轮试验中甲药的得分记为 $X$ .

（1）求 $X$ 的分布列;

（2）若甲药乙药在试验开始时都赋予 $4$ 分. $p_i(i=0,1,\cdots,8)$ 表示 “甲药的累计得分为 $i$ 时，最终认为甲药比乙药更有效” 的概率，则 $p_0=0,p_8=1,p_i=ap_{i-1}+bp_i+cp_{i+1}(i=1,2,\cdots,7)$ ，其中 $a=P(X=-1), b=P(X=9),c=P(X=1)$ . 假设 $\alpha=0.5,\beta=0.8$ .

(i)证明： $\lbrace p_{i+1}-p_{i} \rbrace (i=1,2,\cdots,7)$ 为等比数列;

(ii)求 $p_4$ ，并根据 $p_4$ 的值解释这种试验方案的合理性.

2019年全国卷二题18

$11$ 分制乒乓球比赛，每赢一球得 $1$ 分，当某局打成 $10:10$ 平后，每球交换发球权，先多得 $2$ 分的一方获胜，该局比赛结束. 甲、乙两位同学进行单打比赛，假设甲发球时甲得分的概率为 $0.5$ , 乙发球时甲得分的概率为 $0.4$ ，各球的结果相互独立. 在某局双方 $10:10$ 平后，甲先发球，两人又打了 $X$ 个球，该局比赛结束.
（1）求 $P(X=2)$ ；
（2）求事件 “ $X=4$ 且甲获胜” 的概率.

2019年全国卷三题17

为了解甲乙两种离子在小鼠体内的残留程度，进行如下试验：将 $200$ 只小鼠随机分成 $A,B$ 两组，每组 $100$ 只，其中 $A$ 组小鼠给服甲离子溶液， $B$ 组小鼠给服乙离子溶液. 每只小鼠给服的溶液体积相同、摩尔浓度相同. 经过一段时间后用某种科学方法测算出残留在小鼠体内离子的百分比. 根据试验数据分别得到如下直方图：

记 $C$ 为事件：“乙离子残留在体内的百分比不低于 $5.5$ ”，根据直方图得到 $P(C)$ 的估计值为 $0.70$ .

（1）求乙离子残留百分比直方图中 $a,b$ 的值；

（2）分别估计甲、乙离子残留百分比的平均值（同一组中的数据用该组区间的中点值为代表）.

2020年全国卷一题19

甲乙丙三位同学进行羽毛球比赛，约定赛制如下：
累计负两场者被淘汰；比赛前抽签决定首先比赛的两人，另一人轮空；每场比赛的胜者与轮空者进行下一场比赛，负者下一场轮空，直至有一人被淘汰；当一人被淘汰后，剩余的两人继续比赛，直至其中一人被淘汰，另一人最终获胜，比赛结束.

经抽签，甲乙首先比赛，丙轮空. 设每场比赛双方获胜的概率都为 $\dfrac{1}{2}$
（1）求甲连胜四场的概率；
（2）求需要进行第五场比赛的概率；
（3）求丙最终获胜的概率.

2020年全国卷二题18

某沙漠地区经过治理，生态系统得到很大改善，野生动物数量有所增加. 为调查该地区某种野生动物的数量，将其分成面积相近的 $200$ 个地块，从这些地块中用简单随机抽样的方法抽取 $20$ 个作为样区，调查得到样本数据 $(x_i,y_i) \;(i=1,2,\cdots,10)$ ，其中 $x_i$ 和 $y_i$ 分别表示第 $i$ 个样区的植物覆盖面积（单位：公顷）和这种野生动物的数量，并计算得

$\sum\limits_{i=1}^{20}x_{i}=60, \;\sum\limits_{i=1}^{20}y_{i}=1200, \;\sum\limits_{i=1}^{20} (x_{i}-\bar{x})^2=80,$

$\sum\limits_{i=1}^{20} (y_{i}-\bar{y})^2=9\,000, \;\sum\limits_{i=1}^{20} (x_{i}-\bar{x}) (y_{i}-\bar{y}) =800$ .

（1）求该地区这种野生动物数量的估计值（这种野生动物数量的估计值等于样区这种野生动物数量的平均数乘以地块数）；

（2）求样本 $(x_i,y_i)(i=1,2,\cdots,20)$ 的相关系数(精确到 $0.01$ )；

（3）根据现有统计资料，各地块间植物覆盖面积差异很大. 为提高样本的代表性以获得该地区这种野生动物数量更准确的估计，请给出一种你认为更合理的抽样方法，并说明理由.

2020年全国卷三题18

某学生兴趣小组随机调查了某市 $100$ 天中每天的空气质量等级和当天到某公园锻炼的人次，整理数据得到下表(单位：天)：

（1）分别估计该市一天的空气质量等级为 $1,2,3,4$ 的概率：
（2）求一天中到该公园锻炼的平均人次的估计值(同一组中的数据用该组区间的中点值为代表)；

（3）若某天的空气质量等级为 $1$ 或 $2$ ，则称这天 “空气质量好”；若某天的空气质量等级为 $3$ 或 $4$ ，则称这天 “空气质量不好”. 根据所给数据，完成下面的 $2\times2$ 列联表，并根据列联表判断是否有 $95\%$ 的把握认为一天中到该公园锻炼的人次与该市当天的空气质量有关?

附： $K^2=\dfrac{n(ad-bc)^2}{(a+b)(c+d)(a+c)(b+d)}$

$P(K^2\geqslant k)$	$0.050$	$0.010$	$0.001$
$k$	$3.841$	$6.635$	$10.828$

2020年新高考一卷题19

为加强环境保护，治理空气污染，环境监测部门对某市空气质量进行调研，随机抽查了 $100$ 天空气中的 $PM2.5$ 和 $SO_2$ 浓度（单位： $\mu g/m^3$ ）得下表:

（1）估计事件 “该市一天空气中 $PM2.5$ 浓度不超过 $75$ , 且 $SO_2$ 浓度不超过 $150$ ” 的概率；

（2）根据所给数据，完成下面的 $2\times2$ 列联表:

（3）根据（2）中的列联表，判断是否有 $99\%$ 的把握认为该市一天空气中 $PM2.5$ 浓度与 $SO_2$ 浓度有关?

附： $K^2=\dfrac{n(ad-bc)^2}{(a+b)(c+d)(a+c)(b+d)}$

$P(K^2\geqslant k)$	$0.050$	$0.010$	$0.001$
$k$	$3.841$	$6.635$	$10.828$

2021年全国甲卷题17

甲乙两台机床生产同种产品，产品按质量分为一级品和二级品，为了比较两台机床产品的质量，分别用两台机床各生产了 200 件产品，产品的质量情况统计如下表：

	一级品	二级品	合计
甲机床	150	50	200
乙机床	120	80	200
合计	270	130	400

（1）甲机床乙机床生产的产品中一级品的频率分别是多少?
（2）能否有 $99\%$ 的把握认为甲机床的产品质量与乙机床的产品质量有差异?

附： $K^2=\dfrac{n(ad-bc)^2}{(a+b)(c+d)(a+c)(b+d)}$

$P(K^2\geqslant k)$	$0.050$	$0.010$	$0.001$
$k$	$3.841$	$6.635$	$10.828$

2021年全国乙卷题17

某厂研制了一种生产高精产品的设备,为检验新设备生产产品的某项指标有无提高，用一台旧设备和一台新设备各生产了 10 件产品，得到各件产品该项指标数据如下

旧设备和新设备生产产品的该项指标的样本平均数分别记为 $\bar{x}$ 和 $\bar{y}$ ，样本方差分别记为 $s^2_1$ 和 $s^2_2$ ；

（1）求 $\bar{x},\bar{y},s^2_1,s^2_b$ ；

（2）判断新设备生产产品的该项指标的均值较旧设备是否有显著提高（如果 $\bar{y}-\bar{x}\geqslant 2\sqrt{\dfrac{s^2_1+s^2_2}{10}}$ 则认为新设备生产产品的该项指标的均值较旧设备有显著提高，否则不认为有显著提高）

2021年新高考1卷题18

某学校组织 “一带一路” 知识竞赛，有 $A,B$ 两类问题. 每位参加比赛的同学先在两类问题中选择一类并从中随机抽取一个问题回答，若回答错误则该同学比赛结束；若回答正确则从另一类问题中再随机抽取一个问题回答，无论回答正确与否，该同学比赛结束. $A$ 类问题中的每个问题回答正确得 $20$ 分，否则得 $0$ 分； $B$ 类问题中的每个问题回答正确得 $80$ 分，否则得 $0$ 分.

已知小明能正确回答 $A$ 类问题的概率为 $0.8$ ，能正确回答 $B$ 类问题的概率为 $0.6$ ，且能正确回答问题的概率与回答次序无关

（1）若小明先回答 $A$ 类问题，记 $X$ 为小明的累计得分，求 $X$ 的分布列；

（2）为使累计得分的期望最大，小明应选择先回答哪类问题? 并说明理由.

2021年新高考2卷题18

一种微生物群体可以经过自身繁殖不断生存下来，设一个这种微生物为第 $0$ 代，经过一次繁殖后为第 $1$ 代，再经过一次繁殖后为第 $2$ 代 ······ 该微生物每代繁殖的个数是相互独立的且有相同的分布列，设 $X$ 表示 $1$ 个微生物个体繁殖下一代的个数， $P(X=i)=p_i\;(i=0,1,2,3)$ .

（1）已知 $p_0=0.4, p_1=0.3,p_2=0.2,p_3=0.1$ . 求 $E(X)$ ;

（2）设 $p$ 表示该种微生物经过多代繁殖后临近灭绝的概率, $p$ 是关于 $x$ 的方程 $p_0+p_1x+p_2x^2+p_3x^3=x$ 的一个最小正实根，求证：当 $E(X) \geqslant 1$ 时, $p=1$ , 当 $E(X) \gt 1$ 时, $p \lt 1$ ;

（3）根据你的理解说明（2）问结论的实际含义.

2021年北京卷题18

为加快新型冠状病毒检测效率某检测机构采取 “ $k$ 合 $1$ 检测法”，即将 $k$ 个人的拭子样本合并检测，若为阴性，则可以确定所有样本都是阴性的. 若为阳性，则还需要对本组的每个人再做检测. 现有 $100$ 人，已知其中两人感染病毒.

（Ⅰ）① 若采用 “10 合 1 检测法”，且两名感染患者在同一组，求总检测次数；

② 已知 $10$ 人分成一组，两名感染患者在同一组的概率为 $\dfrac{1}{11}$ , 求检测次数 $X$ 的分布列和数学期望 $E(X)$ .

（Ⅱ）若采用 “ $5$ 合 $1$ 检测法”，检测次数 $Y$ 的期望为 $E(Y)$ ，试比较 $E(X)$ 和 $E(Y)$ 的大小(直接写出结果).

2022年全国甲卷题19

甲乙两个学校进行体育比赛，比赛共设三个项目，每个项目胜方得 $10$ 分，负方得 $0$ 分，没有平局. 三个项目比赛结束后，总得分高的学校获得冠军. 已知甲学校在三个项目中获胜的概率分别为 $0.5,0.4,0.8$ ，各项目的比赛结果相互独立.

（1）求甲学校获得冠军的概率；

（2）用 $X$ 表示乙学校的总得分，求 $X$ 的分布列与期望.

2022年全国乙卷题19

某地经过多年的环境治理，已将荒山改造成了绿水青山. 为估计一林区某种树木的总材积量，随机选取了 $10$ 棵这种树木，测量每棵树的根部横截面积 (单位： $m^2$ ) 和材积量 (单位： $m^3$ ) 得到如下数据：

并计算得： $\sum\limits_{i=1}^{10} x^2_i=0.038, \; \sum\limits_{i=1}^{10} y^2_i=1.615\,8, \sum\limits_{i=1}^{10} x_i y_i=0.247\,4$ .

（1）估计该林区这种树木平均一棵的根部横截面积与平均一棵的材积量；

（2）求该林区这种树木的根部横截面积与材积量的样本相关系数（精确到 $0.01$ ）；

（3）现测量了该林区所有这种树木的根部横截面积，并得到所有这种树木的根部横截面积总和为 $186\, m^2$ . 已知树木的材积量与其根部横截面积近似成正比. 利用以上数据给出该林区这种树木的总材积量的估计值.

附：相关系数 $r= \dfrac{\sum\limits_{i=1}^{n} (x_i- \bar{x})(y_i- \bar{y}) }{\sqrt{ \sum\limits_{i=1}^{n} (x_i- \bar{x})^2 \sum\limits_{i=1}^{n}(y_i- \bar{y})^2 }}$ ,

$\sqrt{1.896}\approx 1.377$

2022年新高考1卷题20

医疗团队为研究某地的一种地方性疾病与当地居民的卫生习惯(卫生习惯分为良好和不够良好两类)的关系，在已患该疾病的病例中随机调查了 $100$ 例(称为病例组)，同时在未患该疾病的人群中随机调查了 $100$ 人(称为对照组)得到如下数据:

	不够良好	良好
病例组	40	60
对照组	10	90

（1）能否有 $99\%$ 的把握认为患该疾病群体与未患该疾病群体的卫生习惯有差异?

（2）从该地的人群中任选一人， $A$ 表示事件 “选到的人卫生习惯不够良好” ， $B$ 表示事件 “选到的人患有该疾病”，

$\dfrac{P(B|A)}{P(\overline{B}|A)}$ 与 $\dfrac{P(B|\overline{A})}{P(\overline{B}|\overline{A})}$ 的比值是卫生习惯不够良好对患该疾病风险程度的一项度量指标，记该指标为 $R$ .
(i)证明： $R= \dfrac{P(A|B)}{P(\overline{A}|B)} \cdot \dfrac{P(A|\overline{B})}{P(\overline{A}|\overline{B})}$

(ii)利用该调查数据，给出 $P(A|B),P(A| \overline{B})$ 的估计值，并利用(i)的结果给出 $R$ 的估计值.

2022年新高考2卷题19

在某地区进行流行病学调查，随机调查了 $100$ 位某种疾病患者的年龄，得到如下的样本数据的频率分布直方图：

（1）估计该地区这种疾病患者的平均年龄（同一组中的数据用该组区间的中点值为代表）；

（2）估计该地区一位这种疾病患者的年龄位于区间 $[20,70)$ 的概率；

（3）已知该地区这种疾病的患病率为 $0.1\%$ ，该地区年龄位于区间 $[40,50)$ 的人口占该地区总人口的 $16\%$ . 从该地区中任选一人，若此人的年龄位于区间 $[40,50)$ ，求此人患这种疾病的概率(以样本数据中患者的年龄位于各区间的频率作为患者的年龄位于该区间的概率精确到 $0.000 \,1$ ).