积分等式与不等式的证明

2018-07-14 本文已影响0人傲娇的泰迪

（1）积分当函数，利用函数思维

变量替换

分部积分

一二重积分互相转化

例:（二重）证明 $\int_{-\infty}^{+\infty}e^{-x^2}dx=\sqrt{x}$ 泊松积分
证：
$\displaystyle \left[\int_{-\infty}^{+\infty}e^{-x^2}dx\right]^2$

$\displaystyle =\int_{-\infty}^{+\infty}e^{-x^2}dx\int_{-\infty}^{+\infty}e^{-y^2}dy$

$\displaystyle =\iint_{R^2}e^{(x^2+y^2)}dxdy$

$\displaystyle =\int_0^{2\pi}d\theta\int_0^{+\infty}e^{-r^2}rdr$

$\displaystyle =2\pi\cdot\frac{1}{2}\int_0^{+\infty}e^{-r^2}dr^2$

$\displaystyle =-\pi\left[e^{-r^2}\right]^{+\infty}=\pi$

$\displaystyle \therefore \int_{-\infty}^{+\infty}e^{-x^2}dx=\sqrt\pi$