三角函数纲目：2017年理数全国卷C题17

2021-07-22 本文已影响0人易水樵

2017年理数全国卷C题17

$\triangle A B C$ 的内角 $A,B,C$ 的对边分别为 $a,b,c$ ，已知 $\sin A + \sqrt{3} \cos A=0, a=2 \sqrt{7}, b=2$ .

（1）求 $c$ ；

（2）若 $D$ 为 $BC$ 边上一点，且 $A D \perp A C$ ，求 $\triangle ABD$ 的面积.

【解答第1问】

$\sin A + \sqrt{3} \cos A=0$

$\cos A \cos \dfrac{\pi}{6} + \sin A \sin \dfrac{\pi}{6} =0$

$\cos{A-\dfrac{\pi}{6}}=0$

$A \in (0,\pi)$

$A=\dfrac{2}{3}\pi$ , $\cos A = -\dfrac{1}{2}, \sin A=\dfrac{\sqrt{3}}{2}$

根据余弦定理可得：

$a^2=b^2+c^2-2bc\cdot \cos A$

$28=4+c^2+2c$

$c^2+2c-24=0$

$(c+6)(c-4)=0$

∵ $c \gt 0$ , ∴ $c=4$ .

【解答第2问】

$\cos C=\dfrac{a^2+b^2-c^2}{2ab}= \dfrac{2}{\sqrt{7}}$

$CD=\dfrac{AC}{\cos C}= \sqrt{7} = \dfrac{1}{2} BC$

所以，

$S_{\triangle ADC} = S_{\triangle ADB}= \dfrac{1}{2} S_{\triangle ABC}$

$S_{\triangle ABC}= \dfrac{1}{2} bc \cdot \sin A =2 \sqrt{3}$

$S_{\triangle ABD} = \sqrt{3}$

【提炼与提高】

本题难度不高，适合在备考初期练手。

在三角函数大题中，求三角形的面积是常用的问题，面积公式一定要牢记，并能灵活应用。在本题中，我们注意到：点 $D$ 实际上是 $BC$ 边的中点，所以， $AD$ 把 $\triangle ABC$ 分成了面积相等的两个小三角形。实际上，是把面积比转化为边长比。这在高中数学中也是常用的方法。另外一种方法，是求出中线 $AD$ 的长度，再求直角三角形 $\triangle ADC$ 的面积。

求边长也是常用的问题，这类问题，首先需要作一个决定：是用余弦定理还是正弦定理？

本题第1问中，已知条件可整理如下。从下表可以看出，用余弦定理较为方便。


$A=\dfrac{2}{3}\pi$
$a=2\sqrt{7}$	$b=2$	$c\;?$

类似问题，都可以用表格的形式，分析已知条件后作出决定。

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2017年理数全国卷C题17

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