OpenGL向量/矩阵、压栈/出栈

我们大家可能对矩阵的乘法有点模糊了，不用担心！我们在这里只需要先明白向量、矩阵的含义，以及在OpenGL中的作用，系统有提供很多API供我么使用。

GLTools库中有一个组件Math3d，其中包含了大量好用的OpenGL一致的3D数学和数据类型。虽然我们不必亲自进行所有的矩阵和向量的操作，但需要知道它们是什么？以及如何运⽤它们。

定义回顾

• 向量：只有一行或者一列的数组被称作为向量。我们称为长度为1的向量为单位向量。

  如果一个向量不是单位向量，而我们把它缩放到长度为1，这个过程叫做标准化，也叫做单位向量华。

• 矩阵：矩阵是指由数字组成的矩形阵列，并写在方括号中间。

OpenGL里的矩阵/向量使用

向量(x,y,z)表示两个重要的值，方向 和 数量 。

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方向：比如向量（1，0，0）。在X方向为+1，而在Y方向和Z方向则为0；
数量：一个向量的数量就是这个向量的长度。

• match3d库
  match3d库有两个数据类型，能够表示一个三维或四维向量。
  M3DVector3f可以表示一个三维向量(x,y,z)。
  M3DVector4f可以表示一个四维向量(x,y,z,w)，w是缩放因子。x、y、z通过除以w来进行缩放。

 typedef float M3DVector3f[3];
typedef float M3DVector4f[4];
//声明⼀个三分量向量操作:
M3DVector3f vVector;

//类似，声明⼀个四分量的操作:
M3DVector4f vVectro= {0.0f,0.0f,1.0f,1.0f};

//声明一个三分量顶点数组，例如⽣成⼀个三⻆形
M3DVector3f vVector[] = {
    0.5, 0.0, 0.0,
    0.0, 0.5, 0.0,
    0.0, 0.0, 0.0,    
};

向量可以进行加法、减法计算，但是在开发中比较常用的计算方式是 点乘（dot product），叉乘（cross product）

向量 点乘

注意：点乘只能发生在两个向量之间。
float m3dDotProduct3(const M3DVector3f u,const M3DVector3f v);
返回的是[-1,1]之见的值，代表这两个向量的余弦值。

float m3dGetAngleBetweenVector3(const M3DVector3f u,const M3DVector3f v);
返回两个向量之间夹角的 弧度值。

2个 单位向量（三维向量）之间进行点乘得到的是一个标量，它表示两个向量之间的夹角。

单位量计算如图：

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使用非零向量a 除以它的模b(向量的长度), 就可以得到方向相同的单位向量c。

向量 叉乘

2个向量之间叉乘就可以得到另外⼀个向量，新的向量会与原来2个向量定义的平面垂直。 进行叉乘，不必为单位向量;

void m3dCrossProduct3(M3DVector3f result,const M3DVector3f u ,const M3DVector3f v);

矩阵

在其他编程标准中，许多矩阵库定义一个矩阵时,使用二维数组。
OpenGL的约定里，更多倾向使⽤一维数组，这样做的原因是 OpenGL 使用的是 Column-Major(以列为主) 矩阵排序的约定。

• OpenGL 下的矩阵

typedef float M3DMatrix33f[9];// 3x3矩阵
typedef float M3DMatrix44f[16];// 4x4矩阵

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这 16 个值表示空间中⼀个特定的位置，这4列中，每⼀列都是有4个元素组成的向量。
如果将⼀个对象所有的顶点向量乘以这个矩阵，就能让整个对象变换到空间中给定的位置和方向。

• 单元矩阵初始化方式

// 方式一：
GLFoat m[] = {
  1, 0, 0, 0,      // X 列
  0, 1, 0, 0,      // Y 列
  0, 0, 1, 0,      // Z 列
  0, 0, 0, 1,      // Translation
}
// 方式二：
M3DMatrix44f m = {
  1, 0, 0, 0,      // X 列
  0, 1, 0, 0,      // Y 列
  0, 0, 1, 0,      // Z 列
  0, 0, 0, 1,      // Translation
}
// 方式三：
void m3dLoadIdentity44f(M3DMatrix44f m);

将一个向量乘以 单元矩阵 等于向量本身。

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⚠️注意：A * B的前提条件是矩阵 A 的列数 == 矩阵B的行数
⚠️注意：A * B != B * A

• 在线性代数中为了方便书写，都是从左往右的顺序进行计算的。
  顶点 x 模型矩阵 x 观察矩阵 x 投影矩阵 = 变换后顶点向量
• 但是在OpenGL中的计算方式是 左乘
  投影矩阵 x 观察矩阵 x 模型矩阵 x 顶点 = 变换后顶点向量
  例如：
  1、modelViewMatrix.MultMatrix(mProjection);//投影矩阵
  2、modelViewMatrix.MultMatrix(mCamera);//观察矩阵
  3、modelViewMatrix.MultMatrix(mObject);//模型矩阵
  我们简单看一下OpenGL内部源码：

// OpenGL 源码
inline void MultMatrix(const M3DMatrix44f mMatrix) {
   M3DMatrix44f mTemp;
   m3dCopyMatrix44(mTemp, pStack[stackPointer]);
   m3dMatrixMultiply44(pStack[stackPointer], mTemp, mMatrix);
}

我们只看第3步，进入OpenGL源码，看到了 矩阵mObject 和 modelViewMatrix 的栈顶矩阵pStack[stackPointer]。
计算方式是：pStack[stackPointer] = mObject * pStack[stackPointer]
⚠️注意：A * B != B * A ， 所以此处的 计算方式 不能理解为 pStack[stackPointer] * mObject
最后将结果赋值给 pStack[stackPointer]覆盖掉原来的值。

专业变换名词

• 视图变换：指定观察者位置。

• 应用到场景中的第一种变换，默认情况下，透视投影中位于原点(0,0,0)，并沿着 z 轴负方向进⾏观察 (向显示器内部“看过去”)。
  视图变换将观察者放在你希望的任何位置。并允许在任何⽅向上观察场景，确定视图变换就像在场景中放置观察者并让它指向某一个方向。
  从⼤局上考虑，在应⽤任何其他模型变换之前， 必须先应⽤视图变换。这样做是因为，对于视觉坐标系⽽言，视图变换移动了当前的工作的坐标系，后续的变化都会基于新调整的坐标系进⾏。

• 模型变换：在场景中移动物体。（物体的平移、旋转、缩放）

//平移
inline void m3dTranslationMatrix44(M3DMatrix44f m, float x, float y, float z)
{ m3dLoadIdentity44(m); m[12] = x; m[13] = y; m[14] = z; }

//旋转
void m3dRotationMatrix44(M3DMatrix44f m, float angle, float x, float y, float z);

//缩放
inline void m3dScaleMatrix44(M3DMatrix44f m, float xScale, float yScale, float zScale)
    { m3dLoadIdentity44(m); m[0] = xScale; m[5] = yScale; m[10] = zScale; }

• 模型视图变换：描述 视图/模型 变换的二元性。（包含了模型变换和视图变换）
• 投影：改变视景体大小和设置他的投影方式。
• 视口：伪变化，对窗口上最终输出进行缩放。

矩阵堆栈的使用

// GLMatrixStack类 这个类的构造函数允许指定堆栈的最大深度，默认的堆栈深度为64.
// 同时这个矩阵堆栈在初始化时，已经在堆栈中包含了单位矩阵。
GLMatrixStack::GLMatrixStack(int iStackDepth = 64);

// 在堆栈顶部载入一个单元矩阵
void GLMatrixStack::LoadIdentity(void);

// 在堆栈顶部载入任何矩阵
void GLMatrixStack::LoadMatrix(const M3DMatrix44f m);

// 矩阵乘以矩阵堆栈顶部矩阵，相乘结果存储到堆栈的顶部
void GLMatrixStack::MultMatrix(const M3DMatrix44f);

// 获取矩阵堆栈顶部的值 GetMatrix 函数
// 为了适应GLShaderManager的使用，或者是获取顶部矩阵的副本
const M3DMatrix44f & GLMatrixStack::GetMatrix(void);
void GLMatrixStack::GetMatrix(M3Datrix44f mMatrix);

压栈/出栈

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• 压栈modelViewMatrix.PushMatrix();:

这句代码的意思是压栈，如果 PushMatix() 括号里是空的，就代表是把栈顶的矩阵复制一份，再压栈到它的顶部。如果不是空的，比如是括号里是单元矩阵，那么就代表压入一个单元矩阵到栈顶了。

• 出栈modelViewMatrix.PopMatrix();:

把栈顶的矩阵出栈，恢复为原始的矩阵堆栈，这样就不会影响后续的操作了。

仿射变换

我们都知道，想要从不同的角度观察一个3D物体，我们有两种方式，一种是移动物体，还有一种就是我们自己移动。在OpenGL中移动观察者就是 仿射变换。

相关代码：

//Rotate 函数angle参数是传递的度数，⽽而不不是弧度
void MatrixStack::Rotate(GLfloat angle,GLfloat x,GLfloat y,GLfloat z);
void MatrixStack::Translate(GLfloat x,GLfloat y,GLfloat z);
void MatrixStack::Scale(GLfloat x,GLfloat y,GLfloat z);

使用照相机和角色帧进行移动：GLFrame

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//将堆栈的顶部压入任何矩阵
void GLMatrixStack::LoadMatrix(GLFrame &frame);
//矩阵乘以矩阵堆栈顶部的矩阵。相乘结果存储在堆栈的顶部 
void GLMatrixStack::MultMatrix(GLFrame &frame);
//将当前的矩阵压栈
void GLMatrixStack::PushMatrix(GLFrame &frame)

获取照相机矩阵

//GLFrame函数，这个函数用来检索条件适合的观察者矩阵
void GetCameraMatrix(M3DMatrix44f m,bool bRotationOnly = flase);