拉普拉斯和泊松方程题

2021-04-09 本文已影响0人 Raow1

2016-1-10. 求解下列拉普拉斯方程的狄利克雷问题

$\begin{align*} & \Delta u(x,y)=0, \quad x^2+y^2 <1 \\ & u(x,y)|_{x^2+y^2=1}=xy^2 \end{align*}$

由题， $u(r,\theta)=\frac{a_0}{2}+\displaystyle\sum_{n=1}^{\infty}r^n[a_n\cos(n\theta)+b_n\sin(n\theta)]$

$a_0=\frac{1}{\pi}\int_0^{2\pi}f(\theta) \mathrm d \theta=0$

$a_n=\frac{1}{r_0^n\pi}\int_0^{2\pi}f(\theta)\cos(n\theta)\mathrm d \theta=\frac{1}{\pi}\int_0^{2\pi}\cos\theta \sin^2\theta \cos(n\theta)\mathrm d \theta$

由积化和差公式，易得 $a_n=\begin{cases} \frac{1}{4},\quad n=1 \\ -\frac{1}{4},\quad n=3 \\ 0, \quad n \neq 1,3 \end{cases}$

同理， $b_n=\frac{1}{r_0^n\pi}\int_0^{2\pi}f(\theta)\sin(n\theta)\mathrm d \theta=0$

所以， $u(r,\theta)=\frac{1}{4}(r\cos \theta-r^3\cos 3\theta)$

所以， $u(x,y)=\frac{1}{4}(x-x^3+3xy^2)$

2016-2-10. 求解下列拉普拉斯方程的狄利克雷问题

$\begin{align*} & \Delta u(x,y)=0, \quad x^2+y^2 <1 \\ & u(x,y)|_{x^2+y^2=1}=-x^2y \end{align*}$

同2016-1-10，易得 $u(x,y)=\frac{1}{4}(y^3-3x^2y-y)$

2016-3-10. 求解下列拉普拉斯方程的狄利克雷问题

$\begin{align*} & \Delta u(x,y)=0, \quad x^2+y^2 <1 \\ & u(x,y)|_{x^2+y^2=1}=x^2y^2 \end{align*}$

同2016-1-10，易得 $u(x,y)=\frac{1}{8}(1+6x^2y^2-x^4-y^4)$

中间可能会用到点火公式、四倍角公式。

2016-4-10. 求解下列拉普拉斯方程的狄利克雷问题

$\begin{align*} & \Delta u(x,y)=0, \quad x^2+y^2 <1 \\ & u(x,y)|_{x^2+y^2=1}=x(x-y)^2 \end{align*}$

同2016-1-10，易得 $u(x,y)=\frac{1}{2}(y^3-3x^2y+2x-y)$

2016-5-10. 求解下列拉普拉斯方程的狄利克雷问题

$\begin{align*} & \Delta u(x,y)=0, \quad x^2+y^2 <1 \\ & u(x,y)|_{x^2+y^2=1}=y(x+y)^2 \end{align*}$

同2016-1-10，易得 $u(x,y)=\frac{1}{2}(2y+x-x^3+3xy^2)$

2017-1-16. 求解下列边值问题

$\begin{align*} & \Delta u =36 r^2 \cos 2 \varphi, \quad r<1,0\leq \varphi \leq 2\pi \\ & u_r|_{r=1}=8 \cos 2\varphi +4\cos 4\varphi, \quad 0 \leq \varphi \leq 2\pi \end{align*}$

由题，存在特解 $u^{*}=3r^4\cos 2\varphi$

令 $v=u-u^{*}$ ，所以有
$\begin{align*} & \Delta v =0, \quad r<1,0\leq \varphi \leq 2\pi \\ & v_r|_{r=1}=4\cos 4\varphi - 4 \cos 2\varphi , \quad 0 \leq \varphi \leq 2\pi \end{align*}$
显然， $v=ar^4\cos 4\varphi+br^2\cos 2\varphi +C$

代入边值条件易得 $a=1,b=-2$

所以 $v=r^4\cos 4\varphi-2r^2\cos 2\varphi +C$

所以 $u=v+u^{*}=(3r^4-2r^2)\cos 2\varphi+r^4\cos 4\varphi+C$

2017-2-16. 求解下列边值问题

$\begin{align*} & \Delta u =12 r^2 \sin 2 \varphi, \quad 1 < r < 2, 0 \leq \varphi \leq 2\pi \\ & (u+u_r)|_{r=1}=2 +2\sin 2\varphi ,\quad u_r|_{r=2}=1-\sin \varphi+28 \sin 2\varphi \quad 0 \leq \varphi \leq 2\pi \end{align*}$

由题，存在特解 $u^{*}=r^4\sin 2\varphi$

令 $v=u-u^{*}$ ，所以有
$\begin{align*} & \Delta v =0, \quad 1 < r < 2, 0 \leq \varphi \leq 2\pi \\ & (v+v_r)|_{r=1}=2-3\sin 2\varphi , \quad v_r|_{r=2}=1-\sin \varphi - 4 \sin 2\varphi , \quad 0 \leq \varphi \leq 2\pi \end{align*}$
显然， $v=(ar^2+\frac{b}{r^2})\sin 2\varphi +(cr+\frac{d}{r})\sin 2\varphi+C_0+D_0\ln r$

代入边值条件易得 $a=-1,b=0,c=0,d=4,C_0=0,D_0=2$

所以 $v=-r^2\sin2\varphi+\frac{4}{r}\sin \varphi+2\ln r$

所以 $u=v+u^{*}=(r^4-r^2)\sin2\varphi+\frac{4}{r}\sin \varphi+2\ln r$

2017-3-16. 求解下列边值问题

$\begin{align*} & \Delta u =-\frac{3}{r^3} \sin 2 \varphi, \quad r>1,0\leq \varphi \leq 2\pi \\ & (u-u_r)|_{r=1}=4\sin 2\varphi +5\cos 2\varphi,\quad u|_{r \to +\infty}=0 \quad 0 \leq \varphi \leq 2\pi \end{align*}$

由题，存在特解 $u^{*}=\frac{\cos 2\varphi}{r}$

令 $v=u-u^{*}$ ，所以有
$\begin{align*} & \Delta v =0, \quad r>1,0\leq \varphi \leq 2\pi \\ & (v-v_r)|_{r=1}=4\sin 2\varphi +3\cos 2\varphi, \quad v|_{r \to +\infty}=0, \quad 0 \leq \varphi \leq 2\pi \end{align*}$
显然， $v=\frac{a}{r}\sin \varphi +\frac{b}{r^2}\cos 2\varphi$

代入边值条件易得 $a=2,b=1$

所以 $v=\frac{2}{r}\sin \varphi +\frac{1}{r^2}\cos 2\varphi$

所以 $u=v+u^{*}=\frac{2}{r}\sin \varphi +\frac{1}{r^2}\cos 2\varphi +\frac{1}{r}\cos 2\varphi$