椭圆加密简介
椭圆加密算法
区块链入门时候最难理解的应该就时候这个椭圆加密算法，椭圆加密算法用于生成公钥生成，现在国密SM2算法的也是基于椭圆机密算法的非对称算法，这里对椭圆加密算法做个最简单的介绍，深奥的数学定理笔者也不懂。
参考：http://www.pediy.com/kssd/pediy06/pediy6014.htm
有理解不当的地方请及时指正。
椭圆加密算法是一种公钥加密体制，最初由Koblitz和Miller两人于1985年提出，其数学基础是利用椭圆曲线上的有理点构成Abel加法群上椭圆离散对数的计算困难性。
有理点：一个n维空间中的几何物体，它的每一点的坐标可以用(x_1,x_2,...,x_n)表示。如果所有x_i都是有理数，则称该点为有理点。
平行线和射影平面：初中数学中有个定理，两条平行线永不相交。那么这里我们换一种思考方式，两条平行线在无穷远处会相交，有一个交点。（不要和之前学的数学去较真）然后根据这个理解，出来下面几个无穷远处点的性质：
1.一条直线，无穷远处点就一个。（一条线你还能要求它有几个点）
2.在平面上一组互相平行的平行线在无穷远处有公共的无穷远处点。
3.平面上相交的两条线在无穷远处有不同的无穷远处点。
4.平面上所有无穷远处点构成一条直线，叫无穷远处直线，那平面上的无穷远处点和正常点构成一个射影平面。
引入一个射影平面坐标系，联系下之前初中数学学的平面直角坐标系：
那么把坐标系的任意点（x，y），改变成x=X/Z ，y=Y/Z（Z≠0）则坐标系内点可以表示为（X:Y:Z）。有三个参量的坐标就建立了新的坐标体系。例：平面（4，8），射影平面坐标（4Z，8Z，Z），那么Z不等于0，（4，8，1）（8，16，2）（6，12，1.5）这些都是（4,8）在射影平面坐标下的点。再根据初中的坐标直线方程求解，aX+bY+c1Z =0； aX+bY+c2Z =0 (c1≠c2)，方程联立求解，c2Z= c1Z= -（aX+bY）且c1≠c2，aX+bY=0，那么解得（X，Y，0）来表示无穷远点。那么表示这类型的坐标体系为射影平面坐标系。
根据上述的方程式，在射影平面坐标系中的椭圆曲线的定义：
该方程名为维尔维斯特拉斯方程，椭圆曲线的形状不是椭圆，只是因为其描述的方程类似于计算一个椭圆周长的方程。到这里才明白这个名字的来历。
加法法则 ：任意取椭圆曲线上两点P、Q （若P、Q两点重合，则做P点的切线）做直线交于椭圆曲线的另一点R’，过R’做y轴的平行线交于R。我们规定P+Q=R。
曲线上三个点A,B,C处于一条直线上，则A+B+C=O∞ 下面，我们利用P、Q点的坐标(x1,y1)，(x2,y2)，求出R=P+Q的坐标(x4,y4)。 P,Q,R'共线，设为y=kx+b， 若P≠Q，k=(y1-y2)/(x1-x2) 若P=Q，k=(3x2+2a2x+a4 -a1y) /(2y+a1x+a3) 解方程组得到： x4=k2+ka1-a2-x1-x2; y4=k(x1-x4)-y1-a1x4-a3;
到这里说椭圆曲线在密码学中的应用，其实之前把整个函数理解成一个曲线光滑的连续曲线，结合笔者之前文章讲加密中质数分解的说明，加密必须是离散的，那么把椭圆曲线定义在一个有限域上。
给出一个有限域Fp，这个域只有有限个元素。
Fp中只有p（p为素数）个元素0,1,2 …… p-2,p-1；
Fp 的加法（a+b）法则是 a+b≡c (mod p)；即，(a+c)÷p的余数 和c÷p的余数相同。
Fp 的乘法(a×b)法则是 a×b≡c (mod p)；
Fp 的除法(a÷b)法则是 a/b≡c (mod p)；即 a×b-1≡c (mod p)；（b-1也是一个0到p-1之间的整数，但满足b×b-1≡1 (mod p)；）。
Fp 的单位元是1，零元是 0。
同时，并不是所有的椭圆曲线都适合加密。y2=x3+ax+b是一类可以用来加密的椭圆曲线，也是最为简单的一类。下面我们就把y2=x3+ax+b 这条曲线定义在Fp上：
选择两个满足下列条件的小于p(p为素数)的非负整数a、b
4a3+27b2≠0 (mod p)
则满足下列方程的所有点(x,y)，再加上 无穷远点O∞ ，构成一条椭圆曲线。
y2=x3+ax+b (mod p)
其中 x,y属于0到p-1间的整数，并将这条椭圆曲线记为Ep(a,b)。
我们看一下y2=x3+x+1 (mod 23)的图像
椭圆曲线这里成为了离散的点。
接下来就是加密解密：
定义个等式：K=kG [其中 K,G为Ep(a,b)上的点，k为小于n（n是点G的阶）的整数]
根据加法法则，计算K很容易；但给定K和G，求k就相对困难了。 我们把点G称为基点（base point），k（k
整个加密通信过程：
1、用户A选定一条椭圆曲线Ep(a,b)，并取椭圆曲线上一点，作为基点G。
2、用户A选择一个私有密钥k，并生成公开密钥K=kG。
3、用户A将Ep(a,b)和点K，G传给用户B。
4、用户B接到信息后 ，将待传输的明文编码到Ep(a,b)上一点M（编码方法很多，这里不作讨论），并产生一个随机整数r（r
5、用户B计算点C1=M+rK；C2=rG。
6、用户B将C1、C2传给用户A。
7、用户A接到信息后，计算C1-kC2，结果就是点M。
因为C1-kC2=M+rK-k(rG)=M+rK-r(kG)=M 再对点M进行解码就可以得到明文。
最后说下椭圆曲线优点：与经典的RSA，DSA等公钥密码体制相比安全性高，160位的椭圆密钥与1024位的RSA密钥安全性相同。处理速度快。在私钥的加密解密速度上，ecc算法比RSA、DSA速度更快。存储空间占用小。带宽要求低。
大致说些椭圆加密算法，这个算法需要相当的数学基础，笔者第二次看了，也没有完全琢磨透，希望有不对的地方能及时指正，有对椭圆加密算法更简单的理解介绍的也请分享。
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