【复杂】第二章： 动力学、混沌和预测 · 对预测的重新认识

然而,20世纪的两个重要发现表明,拉普拉斯的精确预测的梦想,即使在原则上也是不可能的。1927年,海森堡( Werner Heisenberg)提出了量子力学中的“测不准原理”,证明不可能在准确测量粒子位置的同时,又准确测量其动量(质量乘以速度)。对于其位置知道得越多,对于其动量就知道得越少,反过来也是样。不过,海森堡原理还只是限制了对量子世界微观粒子的测量,大多数人都只是觉得它挺有趣,但是对宏观尺度上的预测—比如天气预报—应该没有多大影响。

然而混沌的发现给了精确预测的梦想最后一击。混沌指的是一些系统——混沌系统—对于其初始位置和动量的测量如果有极其微小的不精确,也会导致对其的长期预测产生巨大的误差。也就是常说的“对初始条件的敏感依赖性”。

对于一些自然系统,并没有这个问题。如果你对初始条件的测量不是十分精确,你的预测即使不全对,也会八九不离十。例如天文学家在测量行星位置时即使误差较大,也还是能准确预测日食。而对初始条件的敏感依赖性指的是,如果系统是混沌的在测量初始位置时即使只有极其微小的误差,在预测其未来的运动时也会产生巨大的误差。对于这样的系统(飓风就是例子)点点误差,不管多小,也会导致长期预测很不精确。

这一点很不符合直觉,事实上,很长一段时间里,科学家们都认为这不可能。然而,混沌现象在很多系统中都被观测到了心脏紊乱、湍流、电路、水滴,还有许多其他看似无关的现象。
现在混沌系统的存在已成为科学中公认的事实。

现在已无法说清楚是谁最先意识到可能存在这类系统。远在量子力学出现之前,就有很多人提出了对初始条件敏感依赖性的可能性。例如物理学家麦克斯韦( James Clerk Maxwell)在1873年就猜想,有些量的“物理尺度太小,以致无法被有局限性的人类注意,却有可能导致极为重要的结果。

第一个明确的混沌系统的例子可能是19世纪末由法国数学菜( Henri Poincare)(图2.4)给出。庞加莱是现代动力论的奠基者,可能也是贡献最大的人,大力推动了牛顿力展。庞加莱在试图解决一个比预测飓风简单得多的问题时发现了对初始条件的敏感依赖性。他试图解决的是所谓的三体问题( three-body problem):用牛顿定律预测通过引力相互作用的三个物体的长期运动。牛顿已经解决了二体问题。但没想到三体问题要复杂得多。在向瑞典国王表示敬意的一次数学竞赛中,庞加莱将其解决了。竞赛主办方提供2500瑞典克朗奖励解决“多体
题:用牛顿定律预测任意多个相互吸引的物体的未来运动。提出这个问题是为了确定太阳系是否稳定,行星是会维持还是会偏离目前的轨道?庞加莱想先试着解决三体问题。

他并没有完全成功—这个问题实在太复杂了。但是他的尝试很精彩,所以最后还是赢得了奖金。牛顿发明了微积分,而庞加莱为了解决这个问题也创建了一个新的数学分支—代数拓扣( algebraic topology)。拓扑学是几何学的扩展,正是在研究三体问题的几何结果的过程中,庞加莱发现了对初始条件的敏感依赖性。下面是他对此的总结：

如果我们能知道自然界的定律和宇宙在初始时刻的精确位置,我们就能精确预测宇宙在此后的情况。但是即便我们弄清了自然界的定律,我们也还是只能近似地知道初始状态。如果我们能同样近似地预测以后的状态,这也够了,我们也就能说现象是可以预测的,而且受到定律的约束。但并不总是这样,初始条件的细微差别有可能会导致最终现象的极大不同。前者的微小误差会导致后者的巨大误差。预测变得不可能

换句话说,即便我们完全知道了运动定律,两组不同的初始条件(在这里是物体的初始位置、质量和速度),即使差别很小有时候也会导致系统随后的运动极为不同。庞加莱在三体问题中发现了一个这样的例子。

直到电子计算机出现之后,科学界才开始认识这类现象的意义。庞加莱远远超越了他所处的时代,他意识到对初始条件的敏感依赖性将会阻碍对天气的长期预报。他的远见于1963年被证实,气象学家洛伦兹( Edward Lorenz)发现,即使是很简单的计算机气象模型,也会有对初始条件的敏感依赖性。现在虽然有了高度复杂的气象计算模型,天气预报也最多只能做到大致准确预测一个星期。目前还不清楚这个局限是否是天气的混沌本质导致的,也不知道通过收集更多数据和构造更好的模型,可以将这个局限推进多远。