我们一起玩AI 2——向量与极坐标

5秒导读，本文将从几何的角度介绍向量，并引入极坐标，从而为之后的矩阵与线性变换做出铺垫。

在开始正文前容我再啰嗦一句，《我们一起玩AI 》是为了讲解AI算法的原理以及应用，但是想要理解AI算法没有一定数学基础是不能的，所以我们假定读者忘记了大多数数学知识，一切从头从简说起。

前文我们说过，如果把自身的条件比如，身高，体重，收入...以及各个条件在女神心中的重要程度分别写做向量，再用向量做点乘，得到的数字越大我们就有越高的概率追到女神。

  不过今天我们要从几何的角度从新讨论向量，毕竟我们的目标是——文能打字哄萝莉，武能开炮定乾坤！倘若某个惹你不开心的混蛋躲进了城楼，这时候向量可以帮你用意大利炮把他轰成渣渣灰。

OK，且把闲话打住，向量意为既有大小（意大利炮需要轰多远），又有方向（往哪边轰）的量，比如（2，3，4）如果把他画在笛卡尔坐标系中，如下图：

（只要不改变方向与大小，不论你怎么移动他还是同一个向量）

有了向量，我们来定义一下向量的基本运算——加法，减法，以及点乘（注意向量还有叉乘运算，点乘得到的是一个数字，而叉乘得到的是一个与两个向量都垂直的新向量）。

加法，先沿着v走，再沿着w走：

在此顺便说一个非常有用的与线性变换相关的问题，我们习惯于把延X轴正方向长度为1的向量（1，0）称为i，延y轴正方向长度为1的向量（0，1）称为j，那么向量（7，4）的意思就是7个i加4个j

（别以为竖着写我就不认识你！其实等讲到矩阵你会发现竖的更好用！竖竖更健康）

减法，先沿着v走，再沿着w的反方向走：

点乘：表示两个向量的接近程度，两个向量越靠近得到的数字越大，还是以追女神的例子看吧：

（这就是女神投怀送抱或离你而去的原因啊！！！）

事实上向量的点积等于

也等于，两个向量的大小乘 cosθ，θ为两个向量的夹角，当夹角大于90度（π/2）时 cosθ小于0，这也时为什么其结果小于0的原因！

什么？你问向量的大小怎么算？当然是

还记得前文欧几里得空间距离怎么算么？向量的大小看作他距离0点的距离就行！

好吧，三角函数又是什么？嗯，其实他只是告诉你三角形各边的比例，特别的，tanθ也叫做斜率，他会告诉你，一个坡到底有多陡峭，比如你当你与女神结婚，你可以欣然背着女神爬5楼，但是你多半会拒绝丈母娘让你背着女神攀岩的要求......

等等，为什么π/2是90°，这个嘛，让我们从圆说起，假设一个园半径为1，那么他的周长为2π

红色部分弧长为π/2，而角度刚好为90°！

终于讲到最后的极坐标了，回想一下之前的意大利炮，在你准备开炮之前，你的副官告诉你，指挥官，3点钟方向，5公里处大批敌军来袭，没错这就是极坐标，用夹角与长度来告诉你坐标。

利用勾股定理与三角函数，我们可以轻松的把直角坐标系准换为极坐标，在很多时候极坐标真的方便太多，比如报告开炮的方向

  以及表示某些特定的玩意

 （笛卡尔坐标熊，与极坐标熊）

 最后一说，其实直角坐标系还有其他用处，比如X轴为实轴，Y轴为虚轴，那么复数就可以表示为

最最最后，给出一个逆天的压轴公式——欧拉公式

令θ=π 则

（注：把sinx ，cosx， e^ix 分别麦克劳伦展开，整理一下就可以得到欧拉公式）

看e ，i ，π ，1 ，0 最神奇的5个数联系起来了！

OK，本期的内容真是够长的，不过绝对有价值。下几期我们会讲述线性回归，比如说已知你7年工作经验，精通666种技能，可以连续开会9小时不喝水，那用线性回归算法就可以预估你的工资。为了理解线性回归向量是必不可少的知识！我们下期再见！

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