第三课 盈亏问题中的“一盈一亏”

今天我们进入盈亏问题中的“一盈一亏”。前面我们知道了当两个需求量是都亏的时候，需求量的变化量是相减。当两个需求量是都盈的时候，需求量的变化量也是相减。那么当两个需求量是一盈一亏的时候，需求量的变化量是不是还是相减呢？我们一起来看例题。

一组同学去栽树，如果每人栽8棵，则少27棵；如果每人栽6棵，则余5棵。问这组同学有多少人？他们要栽多少棵树？

我们依旧按照解题模型来一步步深入。

一 分析关联物体和它们的关系

在这一题中，两个关联物体分别是同学和树，一个同学可以种多棵树，所以同学是1，树是多。绘制图形的时候，我们用框来表示同学，需求量的变化是树。

二 绘制分配图

首先看条件一：如果每人栽8棵，则少27棵。我们用框表示同学，框中标注8表示所种的树，继续使用缩略图表示未知的人数。最后"少27"写在图的末尾，如图1。

然后以同样的方式绘制完条件二，如图2.

三 分析总需求量的变化

在前面两课中，我们探讨了当需求量一致的情况（都盈或者都亏），我们使用相减来计算需求量的变化。现在我们遇到了需求量不一致，一个盈一个亏，我们该怎么计算总需求量的变化呢？

3.1.线段图

文字的描述有时候是抽象的，而图形则更加直观，我们通过线段图来看看需求量的变化。

在第一种情况下，每人栽8棵，缺27。ab为原有的树的数量，但在栽8棵的情况下，还需要27棵树（bc）才能满足要求，所以总需求量变成了ac。

而在第二种情况下，每人栽6棵，还多出5来。eg为原来的树数量，但在栽6棵的情况下，还有5个多（fg），所以总需求变成了ef。

那么总需求量从ac到ef，变化了多少？图中可以看出是fg+bc=5+27=32。

3.2.凑整法

我们可以再换种方式来看。在理解这个方式之前，我们需要对变化量有个提前印象。一个数8，另一个数4，从8到4变化了4，这个很好理解。

现在给第一个数增加5，变成了13；给另一个数也增加5，变成了9；那么新变化后的数的变化量是多少？13-9还是为4。这就告诉我们，给两个固定的量，同时增加或者减少相同的量，他们的变化量保持不变。

现在第一种情况，每人栽8棵，还少27棵。那你既然缺，我就给你27棵，这下每人栽8棵，就刚好都有人栽。

第二种，每人栽6棵，还多5棵。那我给了第一种27棵，为了公平，也要给第二种27棵。因为第一种已经多了5棵，又给了27棵，所以多32棵。

变化后，一个一棵都不缺一棵都不多，而另一个多了32棵，那么变化量就是32。用算式表示还是27+5=32。

3.3.小结

你可以用这两种办法去分析都亏，都盈，一亏一盈的现象，你会发现，当两者方向一致（都为正，都为负）的时候，要绝对值减；方向不一致（一正一负）的时候，要绝对值加。当然如果孩子学过正数和负数，懂得数轴，知道（-27）-5=-32那么这个问题其实也很好理解。

四 分析单个需求量的变化，找到解决之道

那么引起这32棵变化的主要原因是什么呢？我们发现每个人从栽8棵变化到了栽6棵，每个人减少了2棵。要实现总需求量增加32，而每个同学贡献了2棵需求量，那么需要几个同学呢？32除以2等于16。所以同学的人数是16个。最后就是我们创建算式，解答问题了，怎么样是不是一点都不难？

五 解决问题

1.  前后两次分配需求量的变化：

      27+5=32（棵）

2.  每个学生释放的需求量：

      8-6=2（棵）

3.  学生人数：

      32÷2=16（人）

4.  树的数量

      16×6+5=96+5=101（棵）

答：有学生16人，树101棵。

一.课后练习

1.    小国买了一本“趣味数学”，他计划：若每天做3道题，则剩下16道题；若每天做5道题，则最后一天只要做1道题。那么这本书共有几道题？小国计划做几天？

2.    小明去买练习本，他付给营业员的钱买4本多1元，买6本少2元。小明付给营业员多少钱？每本练习本多少钱？

二.费曼讲解

在我们实际知道孩子解题的过程中，不仅仅要让孩子具备完整的解题思路和解题技巧，还要训练孩子讲解的能力。把一件事讲清楚，让别人听懂。我们将课后练习的第1题制作成了讲解视频，你可以参考里面的讲解过程，训练你的孩子把他的解题过程讲解清楚。

三.课后练习答案

1.答：有46道题，计划要做10天。

2.答：每本1.5元，共付7元