Orthogonal Convolutional Neural

2020-04-23 本文已影响0人馒头and花卷

Wang J, Chen Y, Chakraborty R, et al. Orthogonal Convolutional Neural Networks.[J]. arXiv: Computer Vision and Pattern Recognition, 2019.

@article{wang2019orthogonal,
title={Orthogonal Convolutional Neural Networks.},
author={Wang, Jiayun and Chen, Yubei and Chakraborty, Rudrasis and Yu, Stella X},
journal={arXiv: Computer Vision and Pattern Recognition},
year={2019}}

概

本文提出了一种正交化CNN的方法.

主要内容

符号说明

$X \in \mathbb{R}^{N \times C \times H \times W}$ : 输入
$K \in \mathbb{R}^{M \times C \times k \times k}$ : 卷积核
$Y \in \mathbb{R}^{N \times M \times H' \times W'}$ : 输出
$Y= Conv(K,X)$

$Y=Conv(K,X)$ 的俩种表示

在这里插入图片描述

$Y=K\tilde{X}$

此时 $K\in \mathbb{R}^{M \times Ck^2}$ , 每一行相当于一个卷积核, $\tilde{X} \in \mathbb{R}^{Ck^2 \times H'W'}$ , $Y \in \mathbb{R}^{M \times H'W'}$ .

$Y=\mathcal{K}X$

此时 $X \in \mathbb{R}^{CHW}$ 相当于将一张图片拉成条, $\mathcal{K} \in \mathbb{R}^{MHW' \times CHW}$ , 同样每一次行列作内积相当于一次卷积操作, $Y \in \mathbb{R}^{MH'W'}$ .

kernel orthogonal regularization

相当于要求 $KK^T=I$ (行正交) 或者 $K^TK=I$ (列正交), 正则项为
$L_{korth-row}= \|KK^T-I\|_F,\\ L_{korth-col}= \|K^TK-I\|_F.$
作者在最新的论文版本中说明了, 这二者是等价的.

orthogonal convolution

作者期望的便是 $\mathcal{K}\mathcal{K}^T=I$ 或者 $\mathcal{K}^T\mathcal{K}=I$ .

用 $\mathcal{K}(ihw,\cdot)$ 表示第 $(i-1) H'W'+(h-1)W'+w$ 行, 对应的 $\mathcal{K}(\cdot, ihw)$ 表示 $(i-1) HW+(h-1)W+w$ 列.

则 $\mathcal{K}\mathcal{K}^T=I$ 等价于
$\tag{5} \langle \mathcal{K}(ih_1w_1, \cdot), \mathcal{K}(jh_2w_2,\cdot)\rangle = \left \{ \begin{array}{ll} 1, & (i,h_1,w_1)=(j,h_2,w_2) \\ 0, & else. \end{array} \right.$
$\mathcal{K}^T\mathcal{K}=I$ 等价于
$\tag{10} \langle \mathcal{K}(\cdot, ih_1w_1), \mathcal{K}(\cdot, jh_2w_2)\rangle = \left \{ \begin{array}{ll} 1, & (i,h_1,w_1)=(j,h_2,w_2) \\ 0, & else. \end{array} \right.$

实际上这么作是由很多冗余的, 可以进一步化为更简单的形式.
(5)等价于
$\tag{7} Conv(K, K,padding=P, stride=S)=I_{r0},$
其中 $I_{r0}\in \mathbb{R}^{M\times M \times (2P/S+1) \times (2P/S+1)}$ 仅在 $[i,i,\lfloor \frac{k-1}{S} \rfloor+1,\lfloor \frac{k-1}{S} \rfloor+1], i=1,\ldots, M$ 处为 $1$ 其余元素均为 $0$ .
$P= \lfloor \frac{k-1}{S} \rfloor \cdot S.$

其推导过程如下(这个实在不好写清楚):

在这里插入图片描述

$\mathcal{K}^T\mathcal{K}$ 在 $S=1$ 特殊情况下的特殊情况下, (10)等价于
$\tag{11} Conv (K^T,K^T, padding=k-1, stride=1)=I_{c0},$
其中 $I_{c0} \in \mathbb{R}^{C \times C \times (2k-1) \times (2k-1)}$ , 同样仅在 $(i,i,k,k)$ 处为1, 其余非零. $K^T \in \mathbb{R}^{C \times M \times k \times k}$ 是 $K$ 的第1, 2坐标轴进行变换.

在这里插入图片描述
同样的

与

是等价的.

另一方面, 最开始提到的kernel orthogonal regularization是orthogonal convolution的必要条件(但不充分) $KK^T=I$ , $K^TK=I$ 分别等价于:
$Conv(K,K,padding=0)=I_{r0} \\ Conv(K^T, K^T, padding=0)=I_{c_0},$
其中 $I_{r0} \in \mathbb{R}^{M \times M \times 1 \times 1}$ , $I_{c0} \in \mathbb{R}^{C \times C \times 1 \times 1}$ .