P1-P6定积分

2019-09-30 本文已影响0人陈文瑜

定积分

面积
$\lim _{\Delta x \rightarrow 0} \sum_{i=1}^n f(\xi_i)\Delta x_i = \int _a^bf(x)dx$
$\int sum$
定积分就是一个数
定积分四则运算
$\int _a^bf(x)dx = - \int_b^af(x)dx$
$\int _a^b 1dx = b-a$

微积分基本定理

积分上限函数，上限是变化的
$P(x) = \int_a^xf(t)dt$ $x \in [a,b]$
$P^\prime(x) = f(x)$
其实值是与 $t$ 没关系，只与 $x$ 有关
$t$ 控制函数的走位而已
$x$ 控制你走到什么时候停下来

$\int _a^bf(x)dx = F(x)|_a^b = F(b)-F(a)$

定积分的换元积分法

注意积分的上下限，也得换
$\int _a^bf(x)dx = \int _\alpha^\beta f(\phi(t))\phi ^\prime(t)dt$

定积分分部积分

$\int _a^budv =uv|_a^b - \int_a^bvdu$

定积分的应用

求面积
求体积
$V = \lim \sum A(x_i)\Delta x_i = \int _a^bA(x)dx$

经济问题

利息问题

广义积分

$\int _a^{+ \infty}f(x)dx = \lim_{b \rightarrow \infty}\int _a^b f(x)dx$
$\int _{- \infty}^bf(x)dx = \lim_{a \rightarrow - \infty}\int_a^bf(x)dx$
$\int_{- \infty}^{+ \infty}f(x)dx = \int _{- \infty}^cf(x)dx + \int_c^{+ \infty}f(x)dx$