题目

实现 int sqrt(int x) 函数。
计算并返回 x 的平方根，其中 x 是非负整数。
由于返回类型是整数，结果只保留整数的部分，小数部分将被舍去。
示例 1:

输入: 4
输出: 2

示例 2:

输入: 8
输出: 2

说明:
8 的平方根是 2.82842...，由于返回类型是整数，小数部分将被舍去。

思路

我这边了解到的方法有二分搜索和牛顿迭代法

• 二分搜索思路比较简单，其实就是试数的一个过程，不过其中有一个小tips，x的平方根不会大于x / 2 + 1，这样，可以缩小范围，减少一些计算

• 牛顿迭代法需要一些数学理论如下：

为了方便理解，就先以本题为例。计算x² = n的解，令f(x)=x²-n，相当于求解f(x)=0的解，如图所示。

首先取x₀，如果x₀不是解，做一个经过(x₀,f(x₀))这个点的切线，与x轴的交点为x₁。同样的道理，如果x₁不是解，做一个经过(x₁,f(x₁))这个点的切线，与x轴的交点为x₂。以此类推。
以这样的方式得到的x_i会无限趋近于f(x)=0的解。
判断x_i是否是f(x)=0的解有两种方法：
（1）一是直接计算f(x_i)的值判断是否为0
（2）二是判断前后两个解x_i和x_i-1是否无限接近。经过(x_i, f(x_i))这个点的切线方程为f(x) = f(x_i) + f’(x_i)(x - x_i)，其中f'(x)为f(x)的导数，本题中为2x。令切线方程等于0，即可求出x_i+1=x_i - f(x_i) / f'(x_i)。继续化简，x_i+1=x_i - (x_i² - n) / (2x_i) = x_i - x_i / 2 + n / (2x_i) = x_i / 2 + n / 2x_i = (x_i + n/x_i) / 2。
有了迭代公式，程序就好写了。关于牛顿迭代法，可以参考wikipedia以及百度百科。

代码

//二分搜索法
//最开始用的是PHP，结果超时，emmm，然后上C语言了
int mySqrt(int x) {
    long long i = 0;
    long long j = x / 2 + 1;
    while (i <= j)
    {
        long long mid = (i + j) / 2;
        long long sq = mid * mid;
        if (sq == x) return mid;
        else if (sq < x) i = mid + 1;
        else j = mid - 1;
    }
    return j;
}

//牛顿迭代法
double sqrt(double x) {
    if (x == 0) return 0;
    double last = 0.0;
    double res = 1.0;
    while (res != last)
    {
        last = res;
        res = (res + x / res) / 2;
    }
    //return res; 用此行则返回double，但是此题要求返回整数
    return int(res);
}

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