了解PCA降维原理的同志们，一定都知道PCA的核心是在数据的高维空间里面，寻找出合适的一组向量（向量之间相互正交），并利用这一组向量作为新坐标系的基底，使得高维空间的数据点投影到新坐标系上，能够保持数据的最大差异
并且PC1代表的是你要分解的矩阵的逆矩阵乘上它本身后，得到新矩阵A，将A矩阵特征分解后最大特征值对应的特征向量即为PC1

那么这次我们就来聊一下PC1指代的内容

假设以组别为坐标轴

我们以二维平面为例子：
假设有A，B两个组别，每个组别有两个基因，其坐标如下：

我们以A，B来构建坐标轴，其中红色点代表基因

我们将其PCA分解后：

PCA分解
我们可以看到，构成PC1的单位基向量为(0.5,0.8660254)，而构成PC2的单位基向量为(-0.8660254,0.5)，且PC1和PC2一定是正交的

我们不妨把PC1画在坐标上，并且设PC1与A轴的夹角为α1，PC1与B轴的夹角为α2；我们在二维空间里面可以看到：

对照着PC1的坐标(0.5,0.8660254)，我们不难发现，0.5是PC1与A轴的方向余弦值；0.8660254是PC1与B轴的方向余弦值；PC2与PC1的定义一样，均为方向余弦值

那么方向余弦值越大，PC1与该坐标轴的夹角越小，反之越大

在一些生信分析方法里面，我们往往用PC1来代替某个sample的表达特征
接下来我们要探究的是PC1与sample的表达之间到底有什么关系，为啥PC1对应的sample值越高，说明该sample的整体水平越高呢？

我们还是以图例为例子，其中红色点代表基因：

图1
该图的特点是这些基因在A组内低表达，在B组内高表达，根据PCA的原理，PC1的位置坐标将会如图1所示，其α1的方向余弦 < α2的方向余弦，这里的 α1 ，α2 分别代表与A组，B组正方向的夹角
图2
该图的特点是这些基因在A组内高表达，在B组内低表达，根据PCA的原理，PC1的位置坐标将会如图2所示，其α1的方向余弦 > α2的方向余弦
显然图1的α1 > 图2的α1，那么它们的方向余弦值将会是相反的结果，即图1的α1的方向余弦 < 图2的α1的方向余弦

对于图1，我们可以说这些基因在A组内低表达，在B组内高表达；并且α1的方向余弦 < α2的方向余弦，代表的是A组整体的基因低表达，B组整体的基因高表达
对于图2，我们可以说这些基因在A组内高表达，在B组内低表达；并且α1的方向余弦 > α2的方向余弦，代表的是A组整体的基因高表达，B组整体的基因低表达

这就可以解释WGCNA中，WGCNA原理简介，该图的意义了，对WGCNA不了解的童鞋可以戳一下传送门

盗图勿喷
该图的柱子就代表着每个sample（sample就是我们说的A，B组别）对应的PC1值（每个柱子对应一个PC1向量的值），我们可以看到PC1向量的值较高的，在该模块内基因的整体表达量都比较高 black模块的PC1向量
那么每一行元素的值代表每一个样本所有基因的整体表达水平

即 D1_rep1，D1_rep2，D2_rep1，D2_rep2 ..... 代表的是不同的sample，其对应的PC1的元素值代表这些sample中基因的整体表达水平

所以，这就解释了为什么WGCNA利用PC1来表示某一个样本整体的基因表达情况了

假设以基因为坐标轴

同样以二维坐标为例：

PCA分解后的结果为：

其中PC1的坐标为 ( 0.4472136，0.8944272 )，其中 0.4472136 是PC1与gene_1的方向余弦值；0.8944272 是PC1与gene_2的方向余弦值
那么我们在坐标轴上表示为：

假设我有很多组，每一个红点代表一个组别：

那么PC1的纵坐标越大，整体的组别（红点）会更靠近gene_2这根轴，说明大部分的组别的gene_2的表达量要高一些；即PC1与gene_2这根轴之间的夹角比较小。

反之，PC1的横坐标越大，整体的组别（红点）会更靠近gene_1这根轴，说明大部分的组别的gene_1的表达量要高一些；即PC1与gene_1这根轴之间的夹角比较小。