法线从object space到eye space的转换(nor

法线从object space到eye space的转换(normal matrix)
法线与切线的仿射变换矩阵关系

对于顶点来说,从object Space转换到eye space, 使用model-view矩阵就好了.那么顶点的法线是否也可以直接使用model-view矩阵转化?

当我们应用一个不等比缩放时（注意：等比缩放不会破坏法线，因为法线的方向没被改变，仅仅改变了法线的长度，而这很容易通过标准化来修复），法向量就不会再垂直于对应的表面了。

如下两张图是顶点的切线(T)和法向量(N)使用m-v矩阵从object space到eye space的变换:

　　

可以看到在eye-space中,变换后的切线(T')的方向仍符合定义,变换后法向量(N')则不再垂直于变换后的切线(T')了，m-v矩阵不适用于法向量的变换.

下面给出法线变换矩阵的推导过程：
设法线为N，切线为T，经过变换后的分别为N ' 、T '，已知：T到T '的变换矩阵为M，求N到N '的变换矩阵G
已知其变换矩阵，则：N '=GN； T '=MT；
因为法线与切线垂直则其点乘为0，有：N·T = 0（单位矩阵）
变换后法线仍与切线垂直：T '·N '=0
因此：
(GN)·(MT)=0
写成矩阵表示：
(GN)^T(MT)=0
N^TG^TMT=0
已知N^TT=0 (即向量表示下的N·T = 0)
则G^TMT = T
G^TM = I
G=(M^-1)^T
因此法线变换矩阵为切线变换矩阵的逆矩阵的转置矩阵。
注意：
(GN)·(MT)=0=>(GN)^T(MT)=0是因为，GN是一个4维向量(x₁,y₁,z₁,w₁)，MT因为是一个4维向量(x₂,y₂,z₂,w₂)，根据点乘的计算公式知道(GN)·(MT)=x₁x₂,y₁y₂,z₁z₂,w₁w₂，而(GN)^T是一个4x1的矩阵，(MT)可以看出是1x4的矩阵，(GN)^T(MT)=x₁x₂,y₁y₂,z₁z₂,w₁w₂，所以(GN)·(MT)=0=>(GN)^T(MT)=0

即normal matrix是model-view矩阵的逆矩阵的转置矩阵.

若model-view矩阵是一个正交矩阵（没有进行缩放的情况）,则G=M.这便是例外情况下normal matrix为model-view矩阵.

另外在unity3d引擎中，法线矩阵已经作为内置的变量提供给我们了，UNITY_MATRIX_IT_MV，Inverse transpose of model * view matrix，直接用就可以了，如果是其他一些情况则需要自己自行计算了。