01-哥德巴赫猜想(Goldbach's Conject

2017-03-14 本文已影响359人 tingxins

goldbach-partitions-of-the-even.png

前言

哥德巴赫猜想是(Goldbach's Conjecture)是数论中存在最久的未解问题之一，是一个伟大的世界性的数学猜想，其基本思想可以陈述为：

任何一个大于2的偶数，都能表示成两个素数之和。

如：
4 = 2 + 2
6 = 3 + 3
96= 23 + 73

本文将采用两种不同的算法来求出给定范围 n 内的哥德巴赫数字，并对比其时间复杂度，得出更优算法。

分析

根据哥德巴赫猜想，我们可以得出如下信息：

哥德巴赫数字是一个大于2的偶数。
哥德巴赫数字等于两个素数相加。

思路A

思路A与之前见过的很多想法一样，简单粗暴，采用嵌套 for 循环。思路如下：

for 循环依次遍历 [4, n] 范围内的偶数。
然后，针对每个数字（c）再次进行 for 循环找出两个数字（a,b）之和等于该数字的数字。（即 c = a + b）
判断 a,b 是否都为素数。
输出结果。

Show the (garbage) code!

实现A

我们把思路A实现的程序分成两个功能模块：

判断是否为素数模块 int isPrime(int i)，返回 1 即为素数。


int isPrime(int i) {
    int j;
    if (i <= 1) return 0;
    if (i == 2) return 1;
    for (j = 2; j < i; j ++) {
        number ++;
        if (i % j == 0) {
        return 0;
        }else if(i != j + 1) {
            continue;
        }else {
            return 1;
        }
    }
}

主程序模块：针对 [4, n] 之间的正偶数进行数值拆分，然后再用isPrime函数进行筛选，如果k，j都为素数，即满足哥德巴赫猜想，输出该数字。

do {
    printf("please enter a number:");
    int number = 0;
    scanf("%d", &number);
    int i, j, k;
    for (int i = 4; i <= number; i += 2) {
        for (k = 2; k<= i/2; k ++) {
            j = i - k;
            if (isPrime(k)) {
                if (isPrime(j)) {
                    printf("%d=%d+%d\n",i, k, j);
                }
            }
        }
    }
}while (1);

思路B

递归算法，也是我业余时间自己写的一个，递归路径类似鱼骨头，基本思路如下：

针对输入的 n 进行拆分（c = a + b 的形式）并递归。
如果拆分的数字 a,b 为偶数，则可能为符合哥德巴赫猜想，回到1。
如果 c 为偶数，且 a,b 为素数，即满足哥德巴赫猜想，输出该数字。

这里笔者画了一张抽象的鱼骨头图，帮助读者理解：

goldbach-conjecture-fish.png

实现B

思路B实现的程序主要分成三个功能模块，为了区分思路A，判断素数的模块也采用递归的形式：

判断是否为素数 int isPrime(int i)，返回 1 即为素数。


// 判断偶数
int isEven(int original) {
    return (original % 2 == 0);
}

int isPrimeInner(int original, int current) {
    if (current<=0 || original<=0 || original == 1) return 0;
    if (original % 2 == 0) {
        if (original == 2) return 1;
        return 0;
    }
    if (current > (original / 2) + 1) return 1;
    if (original % current == 0 && current != 1) return 0;
    return isPrimeInner(original, current + 2);
}

// 判断是否为偶数
int isPrime(int original) {
    return isPrimeInner(original, 1);
}

递归模块

参数 current: 代表分裂初始值，参数 flag: 代表是否深入遍历，此处用于控制重复遍历的情况，如：original=10 时，second=8 时，两次会都会重复遍历 6/4/2，因此加入flag进行限制，只进行一次深入遍历！！


void splitSumInner(int c, int current, int flag) {
    // 哥德巴赫为大于2的偶数
    if (c <= 2) return;
    // 如果 current 大于 c 的一半，即代表遍历完毕
    if (current >= (c / 2) + 1) return;

    // 第一次分裂 c 数值
    int a = current;
    int b = c - current;

    // 递归遍历并分裂 c 数值
    splitSumInner(c, ++ current, flag);

    // 判断能否深入遍历
    if (flag && a > 2 && isEven(a)) {
        // 深入遍历 分裂第一个子偶数
        splitSum(a, 0);
    }

    if (flag && b > 2 && isEven(b)) {
        // 深入遍历 分裂第二个子偶数
        splitSum(b, 0);
    }
    
    // 如果 c 为偶数，且 a,b 为素数，即满足哥德巴赫猜想，输出该数字。
    if (isEven(c) && isPrime(a) && isPrime(b)) {
        printf("\n%d=%d+%d\n",c, a, b);
    }
}

// original: 待分裂的原始数值（ps：会自动分裂 小于 original 下的所有数值）
// flag: 1 代表分裂小于 original 下的所有数值；0 代表分裂当前 original 数值
void splitSum(int original, int flag) {
    splitSumInner(original, 1, flag);
}

主程序模块


void goldbachConjecture(int n) {
    splitSum(n, 1);
}

int main() {
    do {
        printf("please enter a number:");
        int number = 0;
        scanf("%d", &number);
        goldbachConjecture(number);
    } while (1);
    return 0;
}

时间复杂度对比

时间复杂度说白了就是算法中基本操作的执行次数，更通俗的说法，就是最深层循环内的语句。基本操作的重复执行次数是和算法的执行时间成正比的。下面我们来粗略计算一下上述算法的时间复杂度。

A 算法分析

在程序 A 中，与下面的代码相同，采用嵌套三层 for 循环的方式进行遍历：

```

for (int i = 1; i <= n; i ++) { // 第一层循环
        for (int j = 1; j <= i; j ++) { // 第二层循环
            for (int k = 1; k <= j; k ++) { // 第三层循环
                count ++;
                printf("%d*%d*%d\n", i, j, k);
            }
        }
    }

```

下面我们来剖析一下基本操作：

第一层 for 循环执行 n 次。
第二层 for 循环以 i 为规模分别执行 1,2,3,4......n-1,n 次，集一个公差为 1 的等差数列，总次数为 (n+1)*n/2。
第三层 for 循环采用排列组合来计算，举个例子，当 n = 3 时，有 10 次基本操作，我们把执行路径格式定义成 ijk，如下:
```
111
211  221  222
311  321  322  331  332  333
```

algorithm-analyze-a.png

B 算法分析

algorithm-analyze-b.png

结论

以上时间复杂度只是笔者通过简单粗略的分析得出，仅供参考。通过上述分析，我们发现算法A与算法B时间复杂度是一样的，感兴趣的童鞋可以自己计算上述两种算法的时间复杂度。笔者通过测试发现，相同的问题规模，随着 n 的增大，算法B的时间复杂度要远小于算法A。如：n = 100 时，算法B遍历次数是 6380 次左右，算法A遍历次数高达 15569 次（论算法糟糕的可怕性...）。源码地址

01-哥德巴赫猜想(Goldbach's Conject

前言

分析

思路A

实现A

思路B

实现B

时间复杂度对比

A 算法分析

B 算法分析

结论

猜你喜欢

热点阅读