高等数学(一)函数、极限、连续

2021-08-14 本文已影响0人 AdRainty

第一节函数

（一）、函数的概念以及常见函数

1.函数的概念

定义1、若对于每个数x∈D，变量y按照一定的规则总有一个确定的y和它对应，则称x是y的函数，记为y=f(x)，常称x为自变量，y为因变量，D为定义域

2.一些常用的函数

①符号函数
$y=sgn x= \left\{ \begin{array}{l} -1,x<0\\ 0,x=0\\ 1,x>0\\ \end{array} \right.$
　②取整函数
$y=[x]$
表示不超过x的最大整数，例如[3.2]=3，其基本不等式
$x-1<\left[ x \right] \le x$
　③狄里克雷函数
$D\left( x \right) =\left\{ \begin{array}{l} 1,\text{当}x\text{为有理数时}\\ 0,\text{当}x\text{为无理数时}\\ \end{array} \right.$

3.复合函数

定义2、设y=f(u)的定义域为D_f，u=g(x)的定义域为D_g，值域为R_g,若D_f∩R_g≠∅，则称函数y=f[g(x)]为函数y=f(u)和u=g(x)的符合函数，其定义域为{x|x∈Dg，g(x)∈D_f}

4.反函数

定义3、设函数y=f(x)的定义域为D，值域为Ry，若对任意y=Ry，有唯一确定的x∈D，使得y=f(x)，则记为x=f^-1(y)并称其为y=f(x)的反函数

单调函数一定有反函数（反之不对）
在同一坐标系中y=f(x)和x=f^-1(y)的图形重合，y=f(x)和y=f^-1(x)的图形关于直线y=x对称
f^1-[f(x)]=x　　f[f^-1(x)]=x

5.初等函数.

定义4、将幂函数（y=xμ）、指数函数（y=ax），对数函数（y=logax），三角函数（y=sinx，y=cosx，y=tanx，y=cotx），反三角函数（y=arcsinx，y=arccosx，y=arctanx，y=arccotx）称为基本初等函数【熟记图像，定义域值域】

（二）、函数的性质

1.单调性

若对于区间I上任意两点x1<x2恒有f(x1)<f(x2)单调增，f(x1)>f(x2)单调减

2.奇偶性

设y=f(x)的定义域D关于原点对称，∀x∈D，f(x)=f(x)偶函数，f(x)=-f(-x)奇函数
奇+奇=偶　　偶+偶=偶　　奇×奇=偶　　偶×偶=偶　　奇×偶=奇
设y=f(x)可导，f(x)是奇函数→f'(x)是偶函数，f(x)是偶函数→f'(x)是奇函数

常见的奇函数：
$y=\frac{e^x-1}{e^x+1}， y=\ln \left( x+\sqrt{1+x^2} \right)$

3.周期性

若存在T>0,对于任意x，恒有f(x+T)=f(x),则称y=f(x)为周期函数，使上式成立的最小正数T称为最小正周期

若y=f(x)以T为周期，则f(ax+b)以T/|a|为周期
周期函数的充要条件使在其一个周期上的积分为0
sinⁿx当n为奇数的时候T=2π，当n为偶数的时候T=π
若y=f(x)以T为周期，则f'(x)也以T为周期，而积分不一定

4.有界性

若存在M>0,使得对任意的x∈X，恒有|f(x)|≤M，则称f(x)在x上为有界函数

第二节极限

(一)、极限的概念

1、数列

$\lim_{n\rightarrow +\infty}x_n=A$

∀ε>0,∃N>0，当n>N时，恒有|X_n-A|<ε

原数列有极限⇿部分列都有极限且相等
若 $\lim_{n\rightarrow +\infty}x_n=A$ ，则 $\lim_{n\rightarrow +\infty}\left| x_n \right|=A$ ，反之不成立

2、函数

自变量趋向正无穷大

∀ε>0,∃x>0，当x>X时，恒有|f(x)-A|<ε

自变量趋向负无穷大

∀ε>0,∃x>0，当x<-X时，恒有|f(x)-A|<ε

自变量趋向无穷大

∀ε>0,∃x>0，当|x|>X时，恒有|f(x)-A|<ε

自变量趋向有限值

∀ε>0,∃δ>0，当0<|x-x0|<δ时，恒有|f(x)-A|<ε

x→x0但x!=x0，如sin(xsin1/x)/xsin1/x不存在，当x=1/nπ的时候无意义

分段函数要讨论在x₀⁺和x₀^-的存在情况，e^∞限要讨论正无穷和负无穷的情况

(二)、极限的性质

1、有界性

数列：如果数列{x_n}收敛(x_n→a)，那么数列{x_n}一定有界
函数：若在x趋向x₀的时候极限f(x)存在，则f(x)在x₀某去心邻域内有界

2、保号性

数列：设

$\lim_{n\rightarrow +\infty}x_n=A$

若A＞0(或A<0)，则存在N>0,当n>N时，xn>0(或xn<0)
若存在N＞0，当n>N时，xn≥0(或xn≤0)，则A≥0(或A≤0)

函数：设

$\lim_{x\rightarrow x_0}f\left( x \right) =A$

若A＞0(或A<0)，则存在δ>0,当x∈U(x0,δ)时，f(x)>0(或f(x)<0)
若存在δ>0，当x∈U(x0,δ)时，f(x)≥0(或f(x)≤0)，则A≥0(或A≤0)

3、极限和无穷小的关系

(三)、极限存在准则

1、夹逼准则(n项和的极限)

若存在N：当n>N时，x_n≤y_n≤z_n，且
$\lim_{n\rightarrow +\infty}x_n=\lim_{n\rightarrow +\infty}\boldsymbol{z}_n$
则
$\lim_{n\rightarrow +\infty}y_n$

2、单调有界准则（递推关系式的数列极限）

单调有界数列必有极限

(四)、无穷小量

1、概念

高阶无穷小：若

$\lim_{x\rightarrow x_0}\frac{\alpha \left( \text{x} \right)}{\beta\left( \text{x} \right)}=0$

则称α(x)是β(x)的高阶无穷小，记为α(x)=o[β(x)]

低阶无穷小：若

$\lim_{x\rightarrow x_0}\frac{\alpha \left( \text{x} \right)}{\beta \left( \text{x} \right)}=\infty$

则称α(x)是β(x)的低阶无穷小

同阶无穷小：若

$\lim_{x\rightarrow x_0}\frac{\alpha \left( \text{x} \right)}{\beta\left( \text{x} \right)}=C \ne 0$

则称α(x)是β(x)的同阶无穷小

等价无穷小：若

$\lim_{x\rightarrow x_0}\frac{\alpha \left( \text{x} \right)}{\beta\left( \text{x} \right)}=1$

则称α(x)是β(x)的等阶无穷小，记为α(x)~β(x)

特别地，若
$\lim_{x\rightarrow x_0}\frac{\alpha \left( \text{x} \right)}{\left[ \beta \left( \text{x} \right) \right] ^k}=\text{C}\ne 0$
则称α(x)是β(x)的k阶无穷小

2、性质

有限个无穷小的和仍是无穷小
有限个无穷小的积仍是无穷小
无穷小与有界变量的乘积仍是无穷小

(五)、无穷大量

1、常用的无穷大量比较

当x→∞时，　　　　ln^αx<<x^β<<a^x,其中α>0,β>0,a>1
当n→∞时，　　　　ln^αn<<n^β<<aⁿ<<n!,其中α>0,β>0,a>1

2、性质

有限个无穷大的积仍是无穷小
无穷大与有界变量的和仍是无穷小

3、无穷大量和无界变量的关系

数列{x_n}是无穷大量：∀M>0,∃N>0，当n>N时，恒有|x_n|>M
数列{x_n}是无界变量：∀M>0,∃N>0，使得|x_n|>M

4、无穷大量和无穷小量的关系

在同一极限过程中，如果f(x)是无穷大，则1/f(x)是无穷小。反之，如果f(x)是无穷小，且f(x)≠0，则1/f(x)是无穷大

(六)、求极限

1、常用的基本极限

$\underset{\text{x}\rightarrow 0}{\lim}\frac{\sin\text{x}}{\text{x}}=1$

$\underset{\text{n}\rightarrow \infty}{\lim}\left( 1+\frac{1}{\text{n}} \right) ^n=\text{e}$

$\underset{\text{x}\rightarrow 0}{\lim}\frac{\text{a}^x-1}{\text{x}}=\ln\text{a}$

$\underset{\text{n}\rightarrow \infty}{\lim}\sqrt[\text{n}]{\text{n}}=1$

$\underset{\text{n}\rightarrow \infty}{\lim}\sqrt[\text{n}]{\text{a}}=1$

2、“1^∞”

若limα(x)=0，limβ(x)=∞，且limα(x)β(x)=A，则limα(x)β(x)=e^A

3、利用等价无穷小

乘除关系可以换：α(x) ~ α₁(x) ，β(x)~ β₁(x)，则limα(x)/β(x)=limα₁(x)/β(x)=limα(x)/β₁(x)=limα₁(x)/β₁(x)
加减关系在一定条件下可以换α(x)~ α₁(x)，β(x) ~ β₁(x)，且limα₁(x)/β(x)=A≠1，则α(x)-β(x)~ α₁(x)-β₁(x)

且limα₁(x)/β(x)=A≠-1，则α(x)+β(x)~ α₁(x)+ β₁(x)

常用的等价无穷小：

x~ sinx~ tanx~ arcsinx~ arctanx~ ln(1+x)~ e_x-1

a_x-1~lna　　(1+x)^α-1~αx　　1-cosx~x²/2

x-sinx~ arcsinx-x~x³/6

tanx-x~ x-arctanx~x³/3

x-ln(1+x)~x²/2

4、洛必达法则

若limf(x)=limg(x)=0(∞)，且f(x)和g(x)在x0的某去心领域内可导，且g’(x)≠0，limf'(x)/g'(x)存在(或无穷)，则
$\lim_{x\rightarrow a}\frac{f\left( x \right)}{g\left( x \right)}=\lim_{x\rightarrow a}\frac{f'\left( x \right)}{g'\left( x \right)}$

f(x)n阶可导：最多洛必达用到n-1阶，剩下的用导数的定义
若f(x)n阶连续可导：最多洛必达用到n阶

5、利用泰勒公式求极限（带有佩亚诺余项的泰勒公式）

$f\left( x \right) =f\left( x_0 \right) +f'\left( x_0 \right) \left( x-x_0 \right) +\frac{f''\left( x_0 \right)}{2!}\left( x-x_0 \right) ^2+\cdots +\frac{f^{\left( n \right)}\left( x_0 \right)}{n!}\left( x-x_0 \right) ^n+R_n\left( x \right)$

其中R_n(x)=o(x-x₀)ⁿ

6、利用夹逼原理求极限

常用的不等式：

x/(1+x)<ln(1+x)<x
sinx<x<tanx
x-1<[x]≤x

7、利用单调有界准则求极限(x_n+1=f(x_n))

利用单调有界准则证明极限存在
设limx_n=a，解方程

8、利用定积分定义求极限

$\int_0^1{f\left( x \right) \text{d}x}=\underset{\text{n}\rightarrow \infty}{\lim}\frac{1}{\text{n}}\sum_{\text{i}=1}^{\text{n}}{f\left( \frac{\text{i}}{\text{n}} \right)}$

第三节函数的连续性

(一)连续性的概念

定义1、若
$\lim_{\Delta x\rightarrow 0}\left[ f\left( x_0+\Delta x \right) -f\left( x_0 \right) \right] =0$
则称y=f(x)在点x₀处连续

(二)间断点及其分类

1、间断点的定义

若f(x)在x₀的某去心领域内有定义，但在x₀处不连续，则称x₀为f(x)的间断点

2、间断点的分类

第一类间断点：左右极限均存在的间断点

可去间断点：左极限=右极限
跳跃间断点：左极限≠右极限

第二类间断点：左右极限至少有一个不存在

(三)连续性的运算与性质

定理1、连续函数的和、差、积、商仍为连续函数
定理2、连续函数的复合仍为连续函数
定理3、基本初等函数在其定义域内是连续的
定理4、初等函数在其定义区间内是连续的

(四)闭区间上连续函数的性质

若f(x)在[a,b]上连续，则f(x)在[a,b]上有界
若f(x)在[a,b]上连续，则f(x)在[a,b]上必有最大值和最小值
若f(x)在[a,b]上连续，且f(a)≠f(b)，则对f(a)与f(b)任意数C，至少存在一个ξ∈(a,b)，使得f(ξ)=C
若f(x)在[a,b]上连续，且f(a)*f(b)=0，则必存在ξ∈(a,b)，使得f(ξ)=0

高等数学(一)函数、极限、连续

第一节 函数

（一）、函数的概念以及常见函数

1.函数的概念

2.一些常用的函数

3.复合函数

4.反函数

5.初等函数.

（二）、函数的性质

1.单调性

2.奇偶性

3.周期性

4.有界性

第二节 极限

(一)、极限的概念

1、数列

2、函数

(二)、极限的性质

1、有界性

2、保号性

3、极限和无穷小的关系

(三)、极限存在准则

1、夹逼准则(n项和的极限)

2、单调有界准则（递推关系式的数列极限）

(四)、无穷小量

1、概念

2、性质

(五)、无穷大量

1、常用的无穷大量比较

2、性质

3、无穷大量和无界变量的关系

4、无穷大量和无穷小量的关系

(六)、求极限

1、常用的基本极限

2、“1∞”

3、利用等价无穷小

4、洛必达法则

5、利用泰勒公式求极限（带有佩亚诺余项的泰勒公式）

6、利用夹逼原理求极限

7、利用单调有界准则求极限(xn+1=f(xn))

8、利用定积分定义求极限

第三节 函数的连续性

(一)连续性的概念

(二)间断点及其分类

1、间断点的定义

2、间断点的分类

(三)连续性的运算与性质

(四)闭区间上连续函数的性质

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