线性混合模型LMM
线性混合模型基础
线性混合模型（LMM）是遗传评估中必用的统计模型，用以将群体中每个个体的观测值按照潜在影响因素进行分解。决定观测值的大小和幅度受2个参数（均值和方差）控制，反过来说也可以。一般我们更关注方差，围绕方差的运算与处理也更为复杂，所以能够将LMM中涉及的方差们的关系搞明白，就大体能理解这些没什么亲和力的模型们了。通常在介绍这一部分内容时，很容易让人发蒙，因为太抽象了，全是符号，所以前提是必须对数学这门外语有一定了解，就是一门外语啊。比如告诉我一个矩阵的维度是4×5，我头脑里有概念，这是小学的数学知识学得好，但你告诉我它的维度是n×p，我的CPU和GPU就不太够用了，所以得像学习英语一样，方法+重复才是硬道理。
如果知道了这些方差们的具体数值，求算各个因素的系数（我们最终要的是这个）就相对容易多了。但这些方差是怎么计算的？一般会告诉采用了什么方法（REML用的多），但这又是什么我想很多人想知道但没人教，所以一直糊涂着，只停留在会用的地步，当然会处理数据也够用。我很有兴趣，但到今天我也不全会，也没有能力在R中实现，原因是没那个功底，不会矩阵求导，盼望有一天谁来引领一下，但这不是刚需，因此参数求解就停在这里了。下面就我了解的知识对LMM做2部分的介绍，主要目的是自我梳理，学识有限，错误难免。
1. LMM的形式
这是基本形式，更复杂的都是在其基础上演变出来的。
式子里一共有6个字母，4个小写，2个大写。小写是向量（1维矩阵），大写是矩阵。这几个字母的意思分别是：
| 字母 | 名称 | 维度 |
|---|---|---|
| y | 观测值 | n×1 |
| 固定效应（p个水平） | p×1 | |
| a | 随机效应（q个水平） | q×1 |
| e | 随机残差 | n×1 |
| X | 固定效应设计矩阵 | n×p |
| Z | 随机效应设计矩阵 | n×q |
有几个假设
意思是a和e这2个向量的参数（均值和方差），均值都是0，方差分别是G和R，协方差是0（彼此独立，没有线性关系）。G和R具体又是什么？，
。
是随机效应中q个水平之间的关系矩阵（分子关系矩阵），如果水平间不相关（独立），那么就等同于单位矩阵
。这里只假设a是1个效应，a也可以是含有多个效应的列向量；同样，在某些情况下，也可以继续分解R。此外，观测值的期望是
，方差（marginal）
。期望比较容易理解，方差为何是这个形式？G左右为何乘以Z？很多材料没有给详细的推导式子。Mrode（2013，p35）中：
总之，一个普通LMM中的元素就这么多，了解了这些内容，才有可能看懂后续的似然函数以及参数具体的ML或REML过程。
