chpt.1 模型系统的态（5）

2019-12-20 本文已影响0人有限与微小的面包

$\boldsymbol{\mathrm{I}}.$ 平均值

（i）

设想有一部电梯，装载人数 $N = 6$ 。

他们的年龄 $j$ 分别为：

$36，36，25，43，41，25$ ， $j \in [25,43]$

电梯运行到某楼层后，有人要下电梯。试问，这个人的年龄刚好为 $j$ 的概率是多少？

不难得出，概率为：

$P(j) = \frac{N(j)}{N} = \frac{N(j)}{\sum_j N(j)}$

其中 $N(j)$ 是一个函数，它表示年龄为 $j$ 的人的出现次数。

（例）

这人年龄刚好是 $25$ 岁的概率是：

$P(25) = \frac{2}{2+2+1+1} = \frac{1}{3}$

（ii）

这群人年龄的平均值很好计算。我们通常用 $\left<j\right>$ 来表示：

$\left<j\right> = \frac{\sum_j jN(j)}{\sum_j N(j)} = \frac{25\times 2 + 36\times 2+ 41\times 1 + 43\times 1}{2+ 2+ 1+ 1} \approx 34$

或者写成

$\begin{align*}\left &= \sum_j j\frac{N(j)}{\sum_j N(j)} = \sum_j jP(j)\\&= 25\times\frac{2}{6} + 36\times\frac{2}{6}+41\times\frac{1}{6}+43\times\frac{1}{6}\\&\approx 34\end{align*}$

（iii）

对于函数 $f(s)$ ，它的概率分布是连续的。可以被表示成相似的形式：

$\left<f(s)\right> = \sum_s f(s)P(s)$

对于所谓的正态分布(normal distribution)，又有

$\sum_s P(s) = 1$

根据chpt.1 模型系统的态（3）我们知道，二进制系统的重性函数也是一种概率分布，但它一般不是正态的：

$\sum_s g(N,s) = 2^N$

但如果系统中所有态都是等可能的，我们可以将二进制概率分布归一化：

$P(N,s) = \frac{g(N,s)}{2^N}$

这样一来

$\sum_s P(N,s) = 1$

不难证明：

$\begin{align*}\sum_s P(N,s) = \sum_s \left(\frac{2}{\pi N} \right)^{1/2}e^{-2s^2/N} \cong \left(\frac{2}{\pi N} \right)^{1/2}\int_{s=-\infty}^{\infty}e^{-2s^2/N}ds = \frac{1}{\sqrt{\pi}}\Gamma\left(\frac{1}{2}\right) = 1\end{align*}$

于是，对于二进制系统，函数 $f(s)$ 的平均值为

$\left<f\right> = \sum_s f(s)P(N,s)$

（例）

如果 $f(s) = s^2$ ，它的平均值：

$\begin{align*}\left &= \left(\frac{2}{\pi N} \right)^{1/2}\int_{-\infty}^{\infty}s^2e^{-2s^2/N}ds\\&= \frac{N}{2}\left(\frac{1}{\pi}\right)^{1/2}\Gamma\left(\frac{3}{2}\right)\\&= \frac{N}{4}\end{align*}$

（iv）

根据上面的例子，

$\left<s^2\right> = \frac{N}{4}$

因为常数不影响平均值，我们可将 $N$ 可以表示成：

$4\left<s^2\right> = \left = N$

还记得 $2s$ 吗？它在之前的系统中是我们定义的自旋余量。可见，自旋余量的均方(mean square)就等于系统的“位置”数。

而自旋余量的均方根(root mean square)：

$\left<(2s)^2\right>^{1/2} = \sqrt{N}$

（v）

自旋余量的分数涨落(functional fluctuation)被定义为它的均方根与“位置”数的比：

$\mathscr{F} \equiv \frac{\left<(2s)^2\right>^{1/2}}{N} = \frac{1}{\sqrt{N}}$

我们发现，当 $N$ 的取值越大，自旋余量的分数涨落将会越小。换句话说，当 $N$ 非常大时，一旦自旋余量确定，它将不倾向于改变，而是保持在某一个值，所以系统会进入一个更稳定的状态；同时分布函数也会在 $s = 0$ 位置有一个非常非常尖的峰。

$\boldsymbol{\mathrm{I\!I}}.$ 二进制磁体系统的能量

$\bullet$ 当基本磁体被放置于外加磁场中时，模型系统不同态之间将具有不同的能量。

$\bullet$ 如果系统的能量已经确定，那么只有那些具有相同能量大小的态才可能会出现。

$\bullet$ 一个具有磁矩 $\mathbf{m}$ 的磁体在外加磁场 $\mathbf{B}$ 下拥有的能量为： $U = -\mathbf{m}\boldsymbol{\cdot} \mathbf{B}$ 。这也是一个磁矩为 $\mathbf{m}$ 的磁体在磁场 $\mathbf{B}$ 中具有的势能。