文章原因

LeetCode 476. Number Complement，涉及到了反码的计算，涉及到了位的变化。而我想到了之前的一些知识点，这一块属于模糊知识模块。用这道题将知识点进行巩固，会是一个不错的想法。下面是一些个人解题的思考，可直接问跳过。                                                                                                                         

解法的简单理解：在程序中，获取相同位数，真的可以通过一些有趣的方式来实现。而且位移与 与或真的可以为我们提供很开阔的思路。当年自学机组的时候，并没有掌握很好的大局观，因此知识点过于碎片，但是这次回去看的时候，还是会有很多不同的收获在里面。

引入的原因

主要目标是将CPU计算器进行简化：将加减乘除统一简化为加法，减法转化为加法，乘法转化为加法，除法转化为减法。

这里是会出现两个问题的：

1.为何一定要进行2进制转换 

2.补码又是如何将减乘除转化成加法的，具体的原理是什么

减法原理

这里的原码，反码，补码就不再做赘述                                                                              

去除符号的加减，以5-3为例：                                                                                      

bin(5)=101, bin(3)=011.                                                                                                                

 如果直接使用原码来计算，在8位系统中 

5-3 = 0000 0101+1000 1011 = 1000 1000 = - 8

显然答案是错误的。                                                                                                                         

而5 - 3 =0000 0101 + 1000 0011 = 0000 0101 + 1111 1101 = 0000 0010 = 0000 0010 = 2

使用补码计算，可以将减法转化为加法。但为什么，补码能够实现加减的转化呢？           

这里能够理解的就是一个进制或者是mode的问题：时间是12进制的问题，因此在3点钟的位置想要得到11点位置的内容，我们可以3+8 也可以3-4。而补码的计算方式，其实并不是反码加1，而是如下的计算方式，以-3在4位系统中的补码为例：                                                           

bin(-3)=1011   补码计算方式为：10000- 0011 = 1+1111 - 0011 = 1101                                            

从计算的方式上可猜测，根据mode，我们能够实现加减的替换。该替换方式，其实最高位是有区别的，但是在当前系统的最大位上，计算后是没有区别的。                                   

 强烈建议使用时钟作为思考模型，便于理解    

乘法原理

乘法涉及到位位移操作。不管是10进制还是2进制，核心思想乘数去乘每一位数。

例如十进制位乘法：1234*1234 = (1000+200+30+4) * 1234 =  1000 * 1234 + 2 * 100 * 1234 + 3*10 * 1234 + 4 * 1234 = 1234 * 10*10*10 + 1234 * 2 *10*10 + 1234 *3*10 + 1234 * 4      

 二进制乘法，5*3 = 0101 * 0011 = 0101 *0*2*2*2 + 0101 *0*2*2+0101 *1*2 +0101 *1 = 01010 + 00101 = 01111 = 15                                                                                                       

思考一下，乘法的4*2 为4个2相加的解释，在2进制下是否可行？0101 * 0011 本身就无法用语言来形容上述体会，因此上述的辅助模型，只适用于10进制下。不同进制的乘法，主要区别在于左右位移，mode的乘法，这是普遍适用在不同的进制下的。                                    

这是在两个正数的乘法前提下，若涉及到负数乘法呢？                                                                             

5*(-3) = 0101 * 1011 = 00101000 + 00001010 + 00000101 = 0011 0111 显然是不正确的        

5*(-3) = 101 * 011 = 101 *(1000 - 011) = 0101 * (1+111 - 011) = 0101 *(1 + 100) =101 * 101 =010100 + 000101 = 011001 = 100111 显然也是不正确的                                                            

书上说是，忽略符号，当作正数来计算，这样的方式，但这个忽略符号位计算结果的思想就冲突了。结合上述加法思想，不难看出，补码的获取都是涉及到了符号位的识别，因此符号位的识别应该是计算器运行所必须要做的事情。                                                              

那么，乘法转化为加法问题就解决了

除法原理

除法可以看成是乘法的逆向操作，这里需要简单做一个补充，对于二进制计算来说，位数也是非常重要的计算内容，例如加法的位数，直接使得减法能够转化为加法，而乘法的位数也是。例如3位乘以3位的2进制计算，需要6位来表示。                                                                 

除法就是将除数左移，将位数与被除数相等，再做减法操作，依次下去。                                    

总结

上述的转化，使得CPU中，只需要存在累加器就可以了。除法的位数计算，其实还是会比简单的加减法要复杂一些的。

而计算机一直是遵循冯诺伊曼的2进制来设计的。但是，3进制也是可以实现的，补码转化减法乘法除法为加法的核心思想，与进制关联性可以被修改。