零基础期权入门教程（24）Black-Scholes 方程讲的到

2021-11-09 本文已影响0人期权钩沉

这一节我们来讨论深一点的内容。对数学不感兴趣的读者朋友可以跳过本节，不会影响后续内容的理解。

Black-Scholes 方程描述了支配期权价格运动的基本规律，期权的许多性质都是从这个方程推导出来的。Black-Scholes 方程之于期权定价理论，就相当于 F=ma 之于牛顿力学，又相当于薛定谔方程之于量子力学。我们现在就来探讨一下这个方程表达的到底是什么。

Black-Scholes 方程是

$\frac{\partial C}{\partial t}+rS\frac{\partial C}{\partial S}+\frac 12\sigma^2S^2\frac{\partial^2C}{\partial S^2}-rC=0$

其中，r 是利率，其他变量的含义和前面章节的一致。

我们简化一下问题，把利息忽略掉，即假设 r=0。方程化简为

$\frac 12\sigma^2S^2\frac{\partial^2C}{\partial S^2}=-\frac{\partial C}{\partial t}$

左边的主要因子就是 gamma，右边的主要因子就是 theta。我们再假设 σ 是常数。另外，在某一固定的时刻，股票价格 S 是定值。因此，方程可以解释为：在任一时刻，gamma 和 theta 的绝对值成正比。这就是我们在上一节学习的 gamma-theta tradeoff。作为一个推论，容易证明：我们无法通过期权组合同时获得正的 gamma 和正的 theta，除非在不同的时刻开仓。

我们看到，神秘的 Black-Scholes 方程其实就是 gamma-theta tradeoff。由此可见，gamma-theta tradeoff 是期权的本质特征。用我们在中学学的辩证法的语言来说，gamma 和 theta 之间的矛盾对立统一推动了期权价格的发展和运动。

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