似是而非的逻辑

最近在网上看了一些关于0.999…=1的文章。有的人说0.999…不等于1，他们的理由是看上去不等于，并没有严密的逻辑证明。有的人支持0.999…等于1，并给出了很多种证明。乍一看这些证明好像逻辑很严密，但仔细推敲起来又不是那么回事。

让我们一起来看看他们是怎么证明的。

1、这种证明的思路是说找不到一个数处于0.999…和1之间，于是它们相等。

2、1/3=0.333…⇒1/3x3=0.999…=1

3、设X=0.999…⇒10X=9.999…⇒9X=9，所以X=1=0.999…

4、这种证法是用极限证法，他们证明了0.999…的极限等于1，于是说0.999…=1。

我们经过仔细推敲，从更深层次的探究，就会发现这些证明并不严格。首先看第一种证明，如果从自然数的范围内考察，两个相邻自然数（如1和2）之间，无法插入第三个自然数，由此得出这两个自然数相等（1=2）的结论，显然是谎谬的。将自然数集扩展到实数集，道理也一样，就是说即使0.999…和1是两个紧挨着的相邻的实数点，我们也不能说它们两个点重合（相等）。

后边的三种证法事实都可以归结为第4种极限问题。所谓极限，意思是无限接近但永远无法到达的一个确值。显然将0.999…的极限等于1等同于0.999…=1是不对的。

鉴于以上证明都存在不足，于是便有些同学提出了更“高等”的证明，以为这种“高等”的证明是无懈可击的，这种更为“高等”的证明就是所谓的“戴德金分割”。那么，戴德金分割是真的无懈可击吗？让我们一起来看看。

因为手机很难写出那些证明的式子，我用一张照片代替：

好像证明过程真的无懈可击，不知多少学霸为之着迷！仔细推敲就会发现“一定存在n，使得1/q>1/10＾n”是极不负责任的说法。因为a是小于1的实数，它可以是有理数，也可以是无理数。即使不考虑无理数，它也可以等于（q-1）/q，q可以等于11的n次方。不管n取什么值，总有11＾n>10＾n，恒有1/q<1/10＾n。可见，“完美的戴德金分割”也是不完美的。

0.999…是否等于1，并不单是一个数学问题，因此不能通过数学的方法来证明。它应该是一个哲学问题。从哲学的角度说，0.999…和1之间相差一个无穷小，这个无穷小是既有又无的东西。因为无穷小的哲学定义是“至小无内”。