2018-10-13

2018-10-13 本文已影响0人 KD垃圾的进阶之路

线性代数Review

多元函数极值

二次型

二次型的定义(只有二阶的项)
$V$ (任意域 $F$ 上的线性空间)与 $F^n$ (n维向量空间)之间由一组基建立 同构映射
两组基之间的 过度矩阵 $P$ : (新基=旧基 * P, 新基表示为旧的的线性组合,右边乘是因为是列变换(列的线性组合,这里基是列向量) )
$(\beta_1,...,\beta_2) = (\alpha_1,...,\alpha_2)P$
两组基下的 坐标变换公式 :(旧的坐标=P * 新的坐标[unknow],(这里坐标都是列向量,**左边乘是行变换,行的线性组合) )
$X = P Y$
二次型的标准型 (变量的平方和形式,有加有减)
定理: 任何二次型可以配方法化为标准型,通过一可逆线性变换
配方法在没有平方项时要先代换出平方项
二次型的规范型(加减平方项的系数都是1)
二次型的几何
一个对称方阵就对应一个二次型 !!!

对称方阵的相合

定义 :二次型的矩阵(对称阵)
定义: 对于n阶方阵A,B, 存在n阶可逆方阵 $P$ , 使得 $B= P^T AP$ ,则A,B相合
相合可以传递
对称方阵相合的仍然是对称方阵,反对称类似
有限维度线性空间上的一个二次型在两个不同基下的矩阵是相合的.
二次型里面的 $x_i ,y_i ,z_i$ 之类的,就是代表在一组基里面各个基元的系数值,即 xyz变量代表某组基下的坐标变量
可以认为是一个n维几何图形在该基下的方程的系数
对称方阵的相合对角化算法 $A= (S , I)$ ,行变化,列变换最终 $I => P$
对任何n阶对称方阵,存在n阶可逆方阵P,使为对角阵,且对角元可以按任意顺序排列!
对于实数域上的任意n阶对称方阵 $S$ ,存在n阶实可逆方阵 $P$ :
$P^T SP = diag(I_{(p)},-I_{(q)},O_{(n-p-q)})$ 其中 $p+q = rank(S)$
上面式子称为 实对称阵 的 相合规范型