多元随机变量

2022-11-06 本文已影响0人 Kevin不会创作

联合分布
离散变量： $f_{X,Y}(x,y)=P(X=x,Y=y)$
连续变量： $f_{X,Y}(x,y)$ 满足
$P((X,Y)\in A)=\int_A\int f(x,y)dxdy$
边际分布
离散变量： $f_{X}(x)=P(X=x)=\sum_{y\in R} f_{X,Y}(x,y)$
连续变量： $f_{X}(x)=\int^{\infty}_{-\infty}f(x,y)dy$
条件分布
定义： $f(y|x)=\frac{f_{X,Y}(x,y)}{f_{X}(x)}$
独立随机变量： $f(x,y)=f_{X}(x)f_{Y}(y)$
定理1：如果 $X\sim n(\mu,\sigma^2)$ ， $Y\sim n(\gamma,\lambda^2)$ ，那么 $Z=X+Y\sim n(\mu+\gamma,\sigma^2+\lambda^2)$
定理2：如果 $X\sim Poisson(\theta)$ ， $Y\sim Poisson(\lambda)$ ，并且 $X$ 和 $Y$ 相互独立，那么 $X+Y\sim Poisson(\theta+\lambda)$
协方差与相关系数
协方差： $Cov(X,Y)=E((X-\mu_{X})(Y-\mu_{Y}))$
相关系数： $\rho_{XY}=\frac{Cov(X,Y)}{\sigma_{X}\sigma_{Y}}$
定理1：如果 $X$ 和 $Y$ 相互独立，那么 $Cov(X,Y)=0$
定理2： $Var(aX+bY)=a^2VarX+b^2VarY+2abCov(X,Y)$
定理3： $-1\leq\rho_{XY}\leq1$