高中数学纲目

三角之目：2015年理数湖南卷题17

2022-05-23 本文已影响0人易水樵

2015年理数湖南卷题17

设 $\triangle ABC$ 的内角 $A,B,C$ 的对边分别为 $a,b,c$ ， $a=b\tan A$ , 且 $B$ 为鈍角.

（Ⅰ）证明： $B-A=\dfrac{\pi}{2}$

（Ⅱ）求 $\sin A + \sin C$ 的取值范围.

【解答问题Ⅰ】

根据正弦定理， $a=b\tan A \Rightarrow \sin A = \dfrac{\sin B \sin A}{\cos A}$

又∵ $\sin A \gt 0$ , ∴ $\cos A = \sin B$

$\cos A =\cos (B-\dfrac{\pi}{2})$

在 $\triangle ABC$ 中， $A+B+C=\pi$ ,

而 $B$ 为钝角，∴ $\dfrac{\pi}{2} \lt B \lt \pi$ , $0 \lt B-\dfrac{\pi}{2} \lt \dfrac{\pi}{2}$ , $0 \lt A \lt \dfrac{\pi}{2}$

∴ $A = B - \dfrac{\pi}{2}$ .

∴ $B-A=\dfrac{\pi}{2}$ . 证明完毕.

【解答问题Ⅱ】

在 $\triangle ABC$ 中， $\sin C = \sin (A+B)$ ;

根据前节结论， $A+B=2A+\dfrac{\pi}{2}$ ,

∴ $\sin A + \sin C = \sin A + \sin(2A+\dfrac{\pi}{2})$

$=\sin A + \cos 2A = -2\sin^2A + \sin A +1$

$=\sin A (1-2\sin A) +1$

$=-2(\sin A -\dfrac{1}{4})^2 + \dfrac{9}{8}$

∵ $B=A+\dfrac{\pi}{2}$ , $A+B+C=2A+\dfrac{\pi}{2}+C=\pi$ ,

而 $C \gt 0$ ,

∴ $0 \lt A \lt \dfrac{\pi}{4}$ ,

$0 \lt \sin A \lt \dfrac{\sqrt{2}}{2}$ ,

令 $t=\sin A$ , 则 $\sin A + \sin C = -2(t-\dfrac{1}{4}) +\dfrac{9}{8}$

$0 \lt t \lt \dfrac{\sqrt{2}}{2} \Rightarrow \dfrac{\sqrt{2}}{2} \lt -2(t-\dfrac{1}{4}) +\dfrac{9}{8} \leqslant \dfrac{9}{8}$

结论： $\sin A + \sin C$ 的取值范围是 $(\dfrac{\sqrt{2}}{2}, \dfrac{9}{8}]$ .

【提炼与提高】

将二次函数与三角函数结合起来，在三角形内考查. 这是本题的特色.

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