高中数学纲目

三角之目：2016年理数山东卷题16

2022-05-29 本文已影响0人易水樵

2016年理数山东卷题16

在 $\triangle ABC$ 中，角 $A,B,C$ 的对边分别为 $a,b,c$ ，已知 $2(\tan A + \tan B)= \dfrac{\tan A}{\cos B}+\dfrac{\tan B}{\cos A}$ .

（Ⅰ）证明： $a+b=2c$ ;

（Ⅱ）求 $\cos C$ 的最小值.

【解答问题Ⅰ】

∵ $2(\tan A + \tan B)= \dfrac{\tan A}{\cos B}+\dfrac{\tan B}{\cos A}$

∴ $2\tan A \cos A \cos B + 2 \tan B \cos A \cos B = \tan A \cos A + \tan B \cos B$

∴ $2(\sin A \cos B + \cos A \sin B) = \sin A + \sin B$

∴ $2 \sin (A+B)=\sin A + \sin B$

又∵ 在 $\triangle ABC$ 中， $A+B+C=\pi$ , ∴ $\sin(A+B)=\sin C$ ,

∴ $2\sin C = \sin A + \sin B$

$2 \times 2R \cdot \sin C = 2R\sin A + 2R\sin B$

∴ $2c=a+b$ . 证明完毕.

【解答问题Ⅱ】

根据前节结论， $a+b=2c$ , $(a+b)^2=4c^2$ ,

根据余弦定理，

$\cos C = \dfrac{a^2+b^2-c^2}{2ab}=\dfrac{(a+b)^2-c^2-2ab}{2ab}$

$=\dfrac{3}{2} \cdot \dfrac{(a+b)^2}{4ab} -1$

$=\dfrac{3}{2} \cdot \dfrac{(a+b)^2}{(a+b)^2-(a-b)^2}-1$

$\dfrac{(a+b)^2}{(a+b)^2-(a-b)^2} \geqslant 1$ , 仅当 $a=b$ 时等号成立；

∴ $\cos C$ 最小值为 $1$ , 当 $a=b$ 时 $\cos C$ 取得最小值.

【提炼与提高】

本题涉及以下知识：

（1）正弦定理

（2）余弦定理

（3）三角恒等变换

（4）不等式及函数的最值

其中，求函数最小值的过程中用到了一些常用结论，请参考下文：

应用初中数学破解高考数学题：『二次项钻石』

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