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数学-第三集-一元一次不等式及不等式组

2019-09-30 本文已影响0人 F1Sportscarking

前两集我们向大家介绍了一元和二元一次方程的解法，今天，我们来学习与一元一次方程类似的式子，叫作一元一次不等式。

$一、一元一次不等式$

一元一次不等式的定义：含有一个未知数，且未知数的次数为1的不等式，叫做一元一次不等式。

一元一次不等式有很多，如 $2x>7,3m-4>0,-\frac{4}{7}y+4y-27\le0$ 等等。

一元一次不等式的标准形式：经过去分母，去括号、移项、合并同类项等变形后，能化为 $ax<b或ax>b$ 的形式（ $a\neq 0$ ）。例如 $3x>7,4x\le9$ 等都是一元一次不等式的标准形式。

不等式的解：使不等式成立的每一个未知数的值叫做不等式的解。如 $-4,-2,0,1,5$ 都是 $x\le5$ 的解，当然它的解还有很多。

不等式的解集：能使不等式成立的所有未知数的集合，叫做不等式的解集。一般不等式的解集是一个范围，在这个范围内的每一个值都是不等式的解。不等式的解集可以用数轴来表示。

如： $x\le4$ 是 $2x-1\le7$ 的解集。

解一元一次不等式的步骤：去分母；去括号；移项；合并同类项（化为 $ax<b$ 或 $ax>b$ 的形式）;

系数化1（化为 $x>\frac{b}{a}$ 或 $x<\frac{b}{a}$ 的形式）

不等式的解和不等式解集的区别与联系：

不等式的解与不等式的解集是两个不同的概念。不等式的解是指使这个不等式成立的未知数的某个值，而不等式的解集，是指使这个不等式成立的未知数所有的值；不等式的所有解组成了解集，解集包括了每一个解。

下面让我们来看几道例题。

【例1】下列说法中正确的一项是（ A ）

A.x=2是不等式3x>-1 的解 B.x=2是不等式3x>-1的唯一解

C.x=2不是不等式3x>-1 的解 D.x=2是不等式3x>-1的解集

解析：此题考察对解和解集的区分与判断。x=2是不等式3x>-1的解，但不是唯一解；因为解集是一个范围，所以排除bcd项。

【例2】求不等式22<4x-2<46的整数解。

解：22+2<4x<46+2

24<4x<48

6<x<8 x=7

【例3】解不等式 $5x-12\le2(4x-3)$ 。

解： $5x-12\le8x-6$

$-3x\le6$

$x\ge-2$

注意： $-ax<b时，一定要变号！化简后为x>-\frac{b}{a}$

【例4】解不等式 $x-\frac{3x-2}{4}\ge\frac{2(1+x)}{3}-1$ ，写出它的正整数解。

解： $\frac{x+2}{4}\ge\frac{2x-1}{3}$

$3(x+2)\ge4(2x-1)$

$3x+6\ge 8x-4$

$10\ge5x$

$x\le 2$

正整数解：1，2

【例5】当x取何值时，代数式 -2x-3的值总不大于x-15的值？

解：（不大于就是小于等于，不小于就是大于等于）

$-2x-3\le x-15$

$2x+3\ge-x+15$

$3x\ge12$

$x\ge4$

当 $x\ge4$ 时，满足条件。

【例6】

已知方程组{3x+4y=m(1)

{4x+3y=2m-3(2)

已知x-y的取值范围是0<x-y<9,求m的所有整数值的个数（8）。

解：(2)-(1):x-y=m-3

0<x-y<9,0<m-3<9,3<m<12

4,5,6,7,8,9,10,11共8个可能的整数值。所以答案为8.

【练习1】

1.解不等式

(1) $5x-6>8x-14$ (2) $\frac{2x-1}{3}\le 1+\frac{5x-4}{6}$

2.当p取哪些正整数时，代数式 $\frac {2p-3}{4}$ 不大于 $\frac{p+4}{3}-1$ 的值？

3.已知x，y满足方程组 $\{2x+3y=m$

$\{3x+2y=4m-5$

已知x+y的取值范围是 $2<x+y<18,$ 求m的取值范围内整数平方数的个数。

答案：1.（1） $x<\frac{3}{8}$ (2) $x\ge-4$ 2. 1,2,3,4,5,6 3. 3(4,9,16)

$二、一元一次不等式组$

一元一次不等式组的定义：含有相同未知数的几个一元一次不等式所组成的不等式组，叫作一元一次不等式组。

一元一次不等式组的解集：几个一元一次不等式的公共部分，叫作由它们所组成的一元一次不等式组的解集，当几个不等式的解集没有公共部分时，则称这个不等式组无解。

解一元一次不等式组的步骤：

（1）求出这个不等式组中各个不等式的解集；

（2）利用数轴求出这些不等式解集的公共部分，即求出这个不等式组的解集。

由两个一元一次不等式组成的不等式组，经过整理可以归结为下述四种基本类型:

【例7】解不等式组： $\{3x-2\le x +6(1)$

$\{5x+3>2x(2)$

解：(1): $2x\le 8$

$x\le 4$

(2): $-3x<3$

$x>-1$

综上所述，不等式组的解集为 $-1<x\le 4$

一般由不等式组是由2～3个不等式构成一个一元一次不等式组，解法大致如【例7】。

下面我们来练习几道题。

【练习2】

1，解下列不等式组。

（1） $\{5x-2>3(x+1)$ (2) $\{\frac{x+1}{3}\ge x-\frac{x-1}{2}$

$\frac{1}{2}x-1 \le 7-\frac{3}{2}x\}$ $3(x-2)+8>2x$

(3) $\{2(20-x)+20\ge3(3x-4)+25x$

$\frac{2x-1}{2}<\frac{x+6}{3}\}$

答案：1.（1） $\frac{5}{2}<x\le 4$ (2) $-2<x\le-1$ (3) $x\le \frac{36}{19}$

本文到此结束，望继续关注！

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