1周学FFT——第4天 $W_N^{nk}$的分布、周期性和对称

因为，所以当选定一个k时（求取某个频率的分量），遍取之后所得的会均匀的分布在复平面的单位圆上。而随着k取值的变化，的分布可以分为三种情况：

1. k与N有公约数时，所有的均匀的叠到个点上；
2. k为0时，所有叠在一起，在上；
3. k为其他数时，所有的N个均匀分布；

比如，当N=10时，k分别选取3，0，5，6时，的分布情况如下图所示：

N=10，k分别取3，0，5，6时的$W_N^{nk}$分布情况

由上面的示意图不难推导出更一般的关于的周期性和对称性的结论，若，则有：

• 周期性1（经常用）：若，则，
• 周期性2（要用）：若,且N可被r整除，则
• 原点对称（只用特例）：若，且N为偶数，则,
• 实轴对称（不常用）：若，则，即，
• 虚轴对称（不常用）：若，则，

习题

1. 利用的周期性和对称性说明，为何？
2. 为何？
3. 为何？
4. 为何?
5. 编写matlab程序，绘制N=4，k=1时在单位圆上的分布。