用矩阵表述变换与齐次坐标

2018-11-16 本文已影响5人猫爸iYao

一、线性变换与仿射变换的概念

我们知道在计算机图形学中，变换通常包含线性变换、仿射变换、透视变换等。并且，我们用4x4的矩阵表述变换，同时引入了齐次坐标。那么，为什么会这样呢？

在讨论这个问题之前，我们需要了解一下线性变换和仿射变换的定义。

线性映射：在两个向量空间之间的一种保持向量加法和标量乘法的特殊映射。

线性变换种类较多，通常有旋转、缩放、错切、镜像等。

仿射映射：指在几何中，一个向量空间进行一次线性变换并接上一个平移，变换为另一个向量空间。

二、用方程组表述线性变换与仿射变换

首先，我们讨论一下线性变换。由于线性变换种类较多，这里仅讨论最常见的旋转变换。

在三维笛卡尔坐标系 $Oxyz$ 中，我们如何得到点 $P(x, y, z)$ 绕Z轴逆时针旋转α度后新的坐标 $P'(x', y', z')$ ？

由于是绕Z轴旋转，我们可以轻易地把笛卡尔坐标系转换为 $Oxy$ 平面上的极坐标系 $Or$ ， $r$ 为半径坐标。假设点 $P$ 与X轴夹角为 $\theta$ ，我们可以得到 $P'$ 关于 $x$ ， $y$ 的方程（此处 $z$ 不用考虑）。

$\left\{ \begin{array}{c} x = r \cdot cos\theta \\ y = r \cdot sin\theta \\ \end{array} \right. \tag 1$
$\left\{ \begin{array}{l} x' = r \cdot cos(\theta + \alpha) \\ y' = r \cdot sin(\theta + \alpha) \\ z' = z \end{array} \right. \tag 2$
由方程组(1)和方程组(2)可以得出：
$\left\{ \begin{array}{l} x' = x \cdot cos\alpha - y \cdot sin\alpha \\ y' = y \cdot cos\alpha + x \cdot sin\alpha \\ z' = z \end{array} \right. \tag 3$
接下来我们讨论一下仿射变换中的特例：平移。

思考一个问题：在三维笛卡尔坐标系 $Oxyz$ 中，我们如何平移一个点 $P(x, y, z)$ ？很简单，我们只需要将每一个坐标分量和对应的偏移量相加即可。
$\left\{ \begin{array}{c} x' = x + \Delta x \\ y' = y + \Delta y \\ z' = z + \Delta z \\ \end{array} \right. \tag 4$

三、用矩阵表述线性变换和仿射变换

如果我们仅仅做单次的旋转或者平移，上面的方程组已经足够了。然而，在实际的项目当中，我们通常需要做复杂的连续的变换操作。如果还用这种方程组的办法，大量的计算不论是对开发人员还是计算机都是一种不必要的负担。因此，寻找一种更加方便计算的方法是无比迫切的事情。联系到矩阵与方程组的关系，以及矩阵乘法的本质，矩阵表述变换由此变得自然。

因此，旋转变换方程组可以由矩阵表述为：
$\left\{ \begin{matrix} x' \\ y' \\ z' \end{matrix} \right\} = \left\{ \begin{matrix} cos\alpha & -sin\alpha & 0 \\ sin\alpha & cos\alpha & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{matrix} \right\} \cdot \left\{ \begin{matrix} x\\ y\\ z \end{matrix} \right\} \tag 5$
由式(5)可以得出，旋转变换是一个3x3矩阵（设为 $M$ ）与点 $P$ 的乘积结果。即：
$f(p) = M \cdot P \tag 6$
如果有多线性变换，其结果为：
$\begin{align} f(p) & = M_1 \cdot (M_2 \cdot (M_3 \cdot P)) \\ & = (M_1 \cdot M_2 \cdot M_3) \cdot P &\text{根据矩阵乘法结合律} \\ & = M \cdot P \end{align} \tag 7$
同理，平移变换可以由矩阵表述为：
$\left\{ \begin{matrix} x'\\ y'\\ z'\\ \end{matrix} \right\} = \left\{ \begin{matrix} x\\ y\\ z\\ \end{matrix} \right\} + \left\{ \begin{matrix} \Delta x\\ \Delta y\\ \Delta z\\ \end{matrix} \right\} \tag 8$

四、为什么是4x4矩阵？

很遗憾，平移无法用3x3矩阵与向量的乘法来计算。也就是说，3x3矩阵不能使投影变换的计算变得简单方便。

什么样的矩阵才能同时表述线性变换和平移？

回过头去重新审视方程组(3)、(4)，上面的问题变成了什么样的矩阵能够同时表达方程组(3)、(4)。

考虑为了同时满足方程组(3)、(4)，我们可以构造一个特殊的方程组：
$\left\{ \begin{array}{l} x' = cos\alpha \cdot x - sin\alpha \cdot y + \Delta x \\ y' = sin\alpha \cdot x + cos\alpha \cdot y + \Delta y \\ z' = z + \Delta z \end{array} \right. \tag 9$
这个方程组是一次旋转与一次平移的结合。然而，方程组中存在常量，我们如何用矩阵乘法来表述这个非齐次方程组呢？

我们可以把它看作一个四元齐次式，其中新增一个分量 $w$ 用来表示偏移量：
$\left\{ \begin{array}{l} \Delta x = a \cdot w ,& \text{$a \neq 0$} \\ \Delta y = b \cdot w ,& \text{$b \neq 0$} \\ \Delta z = c \cdot w ,& \text{$c \neq 0$} \end{array} \right. \tag{10}$
由方程组(9)、(10)可知：
$\left\{ \begin{array}{l} x' = cos\alpha \cdot x - sin\alpha \cdot y + a \cdot w \\ y' = sin\alpha \cdot x + cos\alpha \cdot y + b \cdot w \\ z' = z + c \cdot w \\ w' = w \end{array} \right. \tag{11}$
现在，我们可以用4x4矩阵来表述方程组(11)：
$\left\{ \begin{matrix} x' \\ y' \\ z' \\ w' \end{matrix} \right\} = \left\{ \begin{matrix} cosα & -sinα & 0 & a\\ sinα & cosα & 0 & b\\ 0 & 0 & 1 & c \\ 0 & 0 & 0 & 1 \end{matrix} \right\}· \left\{ \begin{matrix} x\\ y\\ z \\ w \end{matrix} \right\} \tag{12}$
此时，我们已经可以用4x4矩阵同时表述旋转与平移。代价是我们新增了一个分量 $w$ 。

五、齐次坐标

上面提到的三位点 $P$ 额外添加一个分量 $w$ 组成的四元组，其实就是齐次坐标。那么，我们如何用齐次坐标表示三维的点呢？

事实上，齐次坐标 $(x, y, z, w) \Leftrightarrow$ 三维坐标 $(x/w, y/w, z/w)$ ， $w \neq 0$ 。

六、齐次坐标如何区分向量与点

由方程组(10)、(12)中，当 $w=1$ ， $\alpha = 0^\circ$ 时，
$\left\{ \begin{matrix} x' \\ y' \\ z' \\ 1 \end{matrix} \right\} = \left\{ \begin{matrix} 1 & 0 & 0 & \Delta x \\ 0 & 1 & 0 & \Delta y \\ 0 & 0 & 1 & \Delta z \\ 0 & 0 & 0 & 1 \end{matrix} \right\}· \left\{ \begin{matrix} x\\ y\\ z \\ 1 \end{matrix} \right\} \tag{13}$
这就是点 $P$ 的平移变换。

我们也知道，线性变换是发生在两个向量空间之间的，也就是说，一个向量经过线性变换会生成一个新的向量。而向量是没有位置的，所以向量没有平移变换。为了使得平移对向量无效，此时， $w = 0$ 。

由方程组(10)、(12)可知，当 $w=0$ 时，三维向量的旋转变换矩阵表述为
$\left\{ \begin{matrix} x' \\ y' \\ z' \\ 0 \end{matrix} \right\} = \left\{ \begin{matrix} cos \alpha & -sin \alpha & 0 & \Delta x \\ sin \alpha & cos \alpha & 0 & \Delta y \\ 0 & 0 & 1 & \Delta z \\ 0 & 0 & 0 & 1 \end{matrix} \right\}· \left\{ \begin{matrix} x\\ y\\ z \\ 0 \end{matrix} \right\} \tag{14}$
由方程式(13)、(14)可知，齐次坐标可以很好的区分向量和点。即，(x, y, z, 1)是点，(x, y, z, 0)是向量。