高考数学全国卷：2018~2022年参数方程大题

2023-05-15 本文已影响0人易水樵

2018年全国一卷题22

在直角坐标系 $xOy$ 中，曲线 $C_1$ 的方程为 $y=k|x|+2$ . 以坐标原点为极点， $x$ 轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线 $C_2$ 的极坐标方程为 $\rho + 2\rho \cos\theta-3=0$ .

（1）求 $C_2$ 的直角坐标方程；
（2）若 $C_1$ 与 $C_2$ 有且仅有三个公共点，求 $C_1$ 的方程.

2018年全国二卷题22

在直角坐标系 $xOy$ 中，曲线 $C$ 的参数方程为

$\left\{ \begin{array}\\ x=2\cos\theta \\ y=4\sin\theta \end{array} \right.$ ( $\theta$ 为参数).

直线 $l$ 的参数方程为

$\left\{ \begin{array}\\ x=1+t\cos\alpha \\ y=2+t\sin\alpha \end{array} \right.$ ( $t$ 为参数).

（1）求 $C$ 和 $l$ 的直角坐标方程；
（2）若曲线 $C$ 截直线所得线段的中点坐标为 $(1,2)$ ，求 $l$ 的斜率.

2018年全国三卷题22

在平面直角坐标系 $xOy$ 中, $\odot O$ 的参数方程为

$\left\{ \begin{array}\\ x=\cos\theta \\ y=\sin\theta \end{array} \right.$ ( $\theta$ 为参数 )，

过点 $(0,- \sqrt{2})$ 且倾斜角为 $\alpha$ 的直线 $l$ 与 $\odot O$ 交于 $A,B$ 两点.
（1）求 $\alpha$ 的取值范围；
（2）求 $AB$ 中点 $P$ 的轨迹的参数方程.

2019年全国一卷题22

在直角坐标系 $xOy$ 中，曲线 $C$ 的参数方程为

$\left\{ \begin{array}\\ x= \dfrac{1-t^2}{1+t^2} \\ y= \dfrac{4t}{1+t^2} \end{array} \right.$ ( $t$ 为参数 ).

以坐标原点 $O$ 为极点, $x$ 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，直线 $l$ 的极坐标方程为 $2\rho\cos\theta+\sqrt{3}\rho\cos\theta+11=0$ .

（1）求 $C$ 和 $l$ 的直角坐标方程；
（2）求 $C$ 上的点到 $l$ 距离的最小值.

2019年全国二卷题22

在极坐标系中， $O$ 为极点，点 $M(\rho_0,\theta_0)\; (\rho_0 \gt 0)$ 在曲线 $C:\rho=4\sin\theta$ 上，直线 $l$ 过点 $A (4,0)$ 且与 $OM$ 垂直，垂足为 $P$ .

（1）当 $\theta_0=\dfrac{\pi}{3}$ 时，求 $\rho_0$ 及 $l$ 的极坐标方程；
（2）当 $M$ 在 $C$ 上运动且 $P$ 在线段 $OM$ 上时，求 $P$ 点轨迹的极坐标方程.

2019年全国三卷题22

如图,在极坐标系 $Ox$ 中， $A(2,0), B( \sqrt{2}, \dfrac{\pi}{4}), C(\sqrt{2},\dfrac{3\pi}{4}), D(2,\pi)$ ，弧 $\overset{\frown}{AB}, \overset{\frown}{BC}, \overset{\frown}{CD}$ 所在圆的圆心分别是 $(1,0),(1,\dfrac{\pi}{2}),(1,\pi)$ ，曲线 $M_1$ 是弧 $\overset{\frown} {AB}$ ，曲线 $M_2$ 是弧 $\overset{\frown} {BC}$ ，曲线 $M_3$ 是弧 $\overset{\frown} {CD}$ .
（1）分别写出 $M_1,M2,M_3$ 的极坐标方程；
（2）曲线 $M$ 由 $M_1,M_2,M_3$ 构成，若点 $P$ 在 $M$ 上且 $|OP|= \sqrt{3}$ ，求 $P$ 的极坐标.

2020年全国一卷题22

在直角坐标系 $xOy$ 中，曲线 $C$ 的参数方程为

$\left\{ \begin{array}\\ x= \cos^kt \\ y= \sin^kt \end{array} \right.$ （ $t$ 为参数）.

以坐标原点为极点， $x$ 轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线 $C_2$ 的极坐标方程为 $4\rho\cos\theta -16\rho\sin\theta +3 = 0$ .

（1）当 $k=1$ 时， $C_1$ 是什么曲线?
（2）当 $k=4$ 时，求 $C_1$ 与 $C_2$ 的公共点的直角坐标.

2020年全国二卷题22

已知曲线 $C_1,C_2$ 的参数方程分别为

$C_1:\left\{ \begin{array}\\ x=4\cos^2\theta \\ y=4\sin^2\theta \end{array} \right.$ （ $\theta$ 为参数）

$C_2:\left\{ \begin{array}\\ x= t+\dfrac{1}{t} \\ y= t-\dfrac{1}{t} \end{array} \right.$ （ $t$ 为参数）

（1）将 $C_1,C_2$ 的参数方程化为普通方程；
（2）以坐标原点为极点, $x$ 轴正半轴为极轴建立极坐标系. 设 $C_1,C_2$ 的交点为 $P$ ，求圆心在极轴上，且经过极点和 $P$ 的圆的极坐标方程.

2020年全国三卷题22

在直角坐标系 $xOy$ 中，曲线 $C$ 的参数方程为

$\left\{ \begin{array}\\ x= 2-t-t^2 \\ y= 2-3t +t^2 \end{array} \right.$ （ $t$ 为参数且 $t \ne 1$ ）， $C$ 与坐标轴交于 $A,B$ 两点.

（1）求 $|AB|$ ；
（2）以坐标原点为极点， $x$ 轴正半轴为极轴建立极坐标系，求直线 $AB$ 的极坐标方程.

2021年全国甲卷题22

在直角坐标系 $xOy$ 中，以坐标原点为极点， $x$ 轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线 $C$ 的极坐标方程为 $\rho=2\sqrt{2} cos\theta$

（1）将 $C$ 的极坐标方程化为直角坐标方程；
（2）设点 $A$ 的直角坐标为 $(1,0)$ , $M$ 为 $C$ 上的动点, 点 $P$ 满足 $\overrightarrow {AP}=\sqrt{2} \;\overrightarrow {AM}$ ，写出 $P$ 的轨迹 $C_1$ 的参数方程，并判断 $C$ 与 $C_1$ 是否有公共点.