第十一节 Geometry 2 （Curves and Surf

这一节主要讲述了贝塞尔曲线（Bézier curve）。

自我感觉，贝塞尔曲线的特点其实就是用少量的几个点，就能定义出一条曲线出来。

贝塞尔曲线的公式定义，引用了伯恩斯坦多项式。（回想一下中学时候学的二项式定理，其实伯恩斯坦多项式就是 1^n = (t + (1-t))^n 的展开项。见下图）

伯恩斯坦多项式

其中

也就是等于排列组合中经常使用的C(n i)。

而对于贝塞尔曲线，其定义为

贝塞尔曲线定义

可以看出来，贝塞尔曲线的系数，就是伯恩斯坦多项式。

例如二阶贝塞尔：

二阶贝塞尔

再例如三阶贝塞尔：

三维空间的三阶贝塞尔

逐段贝塞尔曲线（Piecewise Bezier Curves）

用很多点来定义出的一条贝塞尔曲线，非常难控制，于是大家提出使用多段贝塞尔曲线，每段曲线使用四个点，然后将这些曲线连起来组合成一条长的曲线的方式。（Photoshop里的钢笔工具的工作方式？）

之后由贝塞尔曲线延伸到贝塞尔曲面，即在两个方向上分别定义贝塞尔曲线，给定两个方向上的时间t（或者叫u、v），即可得出任意一点在空间中的位置。