图像的能量表达

2020-09-21 本文已影响0人此间不留白

上海交通大学医学图像处理技术

前言

医学图像的分割，若是全依赖人类手工完成，不仅速度慢，而且还容易受到人类医师的经验影响，而依靠全自动化的计算机程序，因为临床环境的复杂性，其普适性又受到影响。因此，如果将计算机技术和人工勾画结合起来，依靠人类医生粗略分割其大致轮廓，再通过计算机算法调整这些轮廓，不仅可以提高分割的精度，也极大的提高了分割的速度，节省了大量的时间。而针对医学图像的分割，图像的能量表达，成为了我们研究医学图像分割问题的重要方法。如下图所示，通过一个矩形，对目标区域（ROI）进行标注，然后，通过算法自动调整，可以得到一个完美的分割效果。

Discrete Dynamic Contour(DDC)

DDC的结构是一组有序的顶点表示，这些顶点由直线段相连，如下图所示：

通过对DDC结构的形变（包括，一些拉伸，移动，增加或减少顶点的操作），可以将此结构完美地fit到ROI中。

描述以上结构的重要参数是顶点，而DDC结构的形变过程中，需要时刻考虑顶点的坐标，因此，用如下所示的公式，表示顶点在 $t$ 时刻的实时坐标。

$t$ 时刻，施加在顶点 $i$ 上的力有三个分力组成，如下：

其中：

$\vec{f}_{i}^{im}(t))$ 称为image force，其作用是驱使顶点，向我们所定义的特征的边缘移动（ROI的轮廓）
$\vec{f}_{i}^{in}(t)$ 称为internal force，其作用是消除噪音（消除一些轮廓中尖锐的突出），保持整个轮廓的平滑。
$\vec{f}_{i}^{d}(t)$ 是一种阻尼力，能够使得轮廓变化的震荡行为变得稳定，起到平滑轮廓的作用。

而 $\vec{f}_{i}^{tot}(t)$ 在 $t$ 时刻都有一个加速度，其表示如下：
$\vec{a}_{i}(t) = \frac{1}{m}\vec{f}_{i}^{tot}(t) \tag{1}$
通常情况下，我们认为 $m=1$

根据物理学知识，给定一个点的初始速度，初始位置和加速度，那么我们总可以求得下一时刻的速度和位置：用公式可以如下表示：

$\vec{v}_i(t+\Delta t) = \vec{v}_{i}(t) + \vec{a}_{i}(t) \Delta t \tag{2}$
$\vec{p}_i(t+\Delta t) = \vec{p}_{i}(t) + \vec{v}_{i}(t) \Delta t \tag{3}$

综上所述，整个算法的步骤可以描述为：

显示图像
用户初始化轮廓，并且设定每个顶点的加速度和速度是0
计算每个顶点的合力 $\vec{f}_{i}^{tot}$
计算每个顶点的加速度通过公式（1）
通过公式（2），公式（3）更新每个顶点的速度和位置
对DDC进行重采样
重复步骤3-6，直到速度和加速度至某个极小值，即：
$||\vec{v}_{i}(t)|| \leq \varepsilon_1,||\vec{a}_{i}(t)|| \leq \varepsilon_2$

Image Force

$\vec{f}_{i}^{im}$ 能够驱使DDC的每一个顶点朝着特征的边缘移动，这种“力”能够将时顶点从灰度较高的区域移动到灰度较低的区域，这一过程，就像物理学中将一个物体从高处移动至低处，势能转换为动能一样，类似的,在图像中，用图像的能量方程来处理这一过程，而Image Force可以看成关于某一个像素点出图像能量的梯度表达，如下公式所示：
$\vec{f}_{i}^{im} = - \bigtriangledown E(x_i,y_i)$

所谓 “水往低处流”，成功定义的能量方程总是使得 Image Force 驱动DDC的顶点向能量场中的局部最小值移动。

如下所示的例子，如下式所示的能量方程所示，能够驱动顶点向最大梯度幅度的区域：
$E(x_i,y_i) = \frac{1}{|| \vec{\bigtriangledown}(G_{\sigma}*I)||+ \epsilon}$

其中， $G_{\sigma}*I$ 表示高斯平滑，而 $\epsilon$ 表示一极小值，高斯平滑的主要作用是抹掉一些局部极小值，使得图像更加平滑，使得能量方程不至于落到局部极小值。

如下图所示的能量场的梯度变化，可以看出，图像像素发生急剧变化的地方，其能量场相对较高，就跟势能一样，能够阻止物体的移动，可以看到，距离能量场越远，顶点的移动速度越快。

Internal Force

$\vec{f}_{i}^{in}$ 的作用是使得DDC的边缘更加光滑，具体来说就是使得DDC的弧度变得更小，使得每个点，局部的曲率达到最小， $t$ 时刻的曲率表示Internal Force
$\vec{f}_{i}^{in} = c_i(t)$

局部曲率与连接顶点的两个边的角度成反比，可以用如下公式表示：
$c_{i}(t) =\hat{d}_{i}(t)-\hat{d}_{i-1}(t)$
其中， $\hat{d}_{i}(t)$ 表示连接顶点 $i$ 到顶点 $i+1$ 的边缘向量，如下图所示，连接顶点的两个边缘的角度越大，局部曲率越小，如下图所示：

Damping Force

$\vec{f}_{i}^{d}(t)$ 能够消除DDC边缘点的抖动，使得整个边缘更加平滑，想象，移动一个用绳子系着的重物，移动的过程中，重物会左右摆动，Damping Force能够起到消除震荡，使得重物的移动更加稳定的作用，其公式为:
$\vec{f}_{i}^{d}(t) = w^d \vec{v}_{i}(t)$

$w^d$ 是一个权重参数，一般取 $-1<w^d<1$

Resamping

DDC 的形变过程中，可能导致某一些控制点较为集中地分布在一段边缘区域上，导致一些边缘线上的控制点过少，为了解决这一问题，需要在DDC每一次形变之前，对边缘线的控制点进行线性插值的方式进行重采样。如下图所示：