2.Fourier变换与时频分辨率

2019-10-21 本文已影响0人抄书侠

从傅里叶序列到傅里叶变换

傅里叶序列： $f \in R[-\pi, \pi]$ ， $f(x) \sim \frac{a_{0}}{2}+\sum_{n=1}^{\infty} a_{n} \cos n x+\sum_{n=1}^{\infty} b_{n} \sin n x$ ，且 $\left\{\begin{array}{l}{a_{n}=\frac{1}{2 \pi} \int_{-\pi}^{\pi} f(x) \cos n x \mathrm{d} x, n=0,1,2 \cdots} \\ {b_{n}=\frac{1}{2 \pi} \int_{-\pi}^{\pi} f(x) \sin n x \mathrm{d} x, n=1,2,3 \cdots}\end{array}\right.$
如果将正弦部分记为虚部，那么有 $f(x) \sim \sum_{n=-\infty}^{\infty} c_{n} e^{i n x}, c_{n}=\frac{1}{2 \pi} \int_{-\pi}^{\pi} f(x) \mathrm{e}^{-i n x} \mathrm{d} x, n=0, \pm 1, \pm 2 \cdots$
进一步，当 $f \in R[-L \pi, L \pi]$
$f(x) \sim \sum_{n=-\infty}^{\infty} c_{n} e^{i n x / L}$
其中 $c_{n}=\frac{1}{2 \pi L} \int_{-\pi L}^{\pi L} f(x) \mathrm{e}^{-i n x / L} \quad \mathrm{d} x, n=0, \pm 1, \pm 2 \cdots$
如果记 $\hat{f}\left(\frac{n}{L}\right) \triangleq 2 \pi L c_{n}$ ，当 $L\rightarrow \infty$ 时 $\hat{f}(\omega)=\int_{-\infty}^{\infty} f(x) \mathrm{e}^{-i \omega x} \mathrm{d} x, \omega \in \mathbb{R}$
这时，我们就已经得到了傅里叶积分的变换公式： $f \in L^{1}(\mathbb{R})$ ， $\hat{f}(\omega)=\int_{-\infty}^{\infty} f(x) \mathrm{e}^{-i \omega x} \mathrm{d} x, \omega \in \mathbb{R}$ (FT)
进一步，若 $\hat{f} \in L^{1}(\mathbb{R})$ ，那么 $f(x)=\frac{1}{2 \pi} \int_{-\infty}^{\infty} \hat{f}(\omega) \mathrm{e}^{i x \omega} \mathrm{d} \omega$ (IFT)
而 $L^{1}(\mathbb{R}) \cap L^{2}(\mathbb{R})$ 在 $L^{2}(\mathbb{R})$ 中稠密，所以我们可以把上述过程推广到 $L^{2}(\mathbb{R})$ 中。

连续傅里叶变换(CFT)

性质：

image.png

二维连续傅里叶变换(2D CFT)

$\hat{f}\left(\omega_{x}, \omega_{y}\right)=\int_{-\infty}^{+\infty} \int_{-\infty}^{+\infty} f(x, y) e^{-i\left(\omega_{x} x+\omega_{y} y\right)} d x d y \quad\left(f \in L^{1}\left(\mathbb{R}^{2}\right)\right)$
如果 $f, \hat{f} \in L^{1}\left(\mathbb{R}^{2}\right)$ 那么 $f(x, y)=\frac{1}{4 \pi^{2}} \int_{-\infty}^{+\infty} \int_{-\infty}^{+\infty} \hat{f}\left(\omega_{x}, \omega_{y}\right) e^{i\left(\omega_{x} x+\omega_{y} y\right)} d \omega_{x} d \omega_{y}$

紧支撑

如果 $\int_{-\infty}^{+\infty}|\hat{f}(\omega)|\left(1+|\omega|^{p}\right) d \omega<+\infty$ ，那么 $f$ 是有界且 $f \in C^{p}$ 。
推论1.若 $\exists K>0, \varepsilon>0$ ，使得 $|\hat{f}(\omega)| \leq \frac{K}{1+|\omega|^{p+1+\varepsilon}}$ ，那么 $f \in C^{p}$
推论2.如果 $\hat{f}$ 是紧的，那么 $f \in C^{\infty}$ 。

不确定性原理

问题：能否构造一个函数 $f$ 使得能量有时域局部性的同时能量会集中在一个小的频率区间上。
Heisenberg不确定性原理：不能得到时间和频域上都任意好的解，一者必将迁就另一方。 $\sigma_{\omega}^{2} \sigma_{t}^{2} \geq \frac{1}{4}$

短时傅里叶变换(STFT)

$S f(\tau, \dot{\omega})=\int[f(t) \cdot W(t-\tau)] \cdot e^{-i \omega t} d t$
其中 $W(t-\tau)$ 为能量集中在 $\tau$ 的窗口函数。
STFT一旦窗口函数选定
$\sigma_{\tau}^{2}=\int_{-\infty}^{+\infty}(t-\tau)^{2}\left|W_{\tau, \omega}(t)\right|^{2} d t=\int_{-\infty}^{+\infty} t^{2}|W(t)|^{2} d t$
$\sigma_{\omega}^{2}=\frac{1}{2 \pi} \int_{-\infty}^{+\infty}(\xi-\omega)^{2}\left|W_{\tau, \omega}(\xi)\right|^{2} d \xi=\frac{1}{2 \pi} \int_{-\infty}^{+\infty} \xi^{2}|\hat{W}(\xi)|^{2} d \xi$
二者均为常数。