矩阵分析学习笔记(五)-矩阵的分解
2019-05-18 本文已影响0人
明天过后_002b
QR分解
设是
阶可逆方阵,则存在
阶正交矩阵
和可逆上三角阵
,使得
,称为矩阵
的
分解。
证明:将矩阵按列分块为
由可逆,知
线性无关,用归纳法选取
即
由施密特(Schmidt)正交化定理知 两两正交。
再取
(单位化)
则是两两正交的单位向量,
则有
其中
令
则有.
并且,因为 阶方阵
的列向量组是
的一个标准正交基,所以
为正交矩阵;因为矩阵
是可逆对角阵与可逆上三角阵之积,故
是可逆上三角阵。
例:求矩阵 的
分解,其中
.
解:将矩阵按列分块为
,即
按照施密特正交化方法,得
将上述结果写成矩阵形式: