专题：同时合同对角化

2019-03-11 本文已影响0人抄书侠

例题

例2.1（曲阜师大07）若A，B均为n阶实对称矩阵，且A正定，则存在可逆矩阵T使得 $A=T^{T} T, B=T^{T} \operatorname{diag}\left(\lambda_{1}, \cdots, \lambda_{n}\right) T$ 或 $T^{T} A T=E, T^{T} B T=\operatorname{diag}\left(\lambda_{1}, \cdots, \lambda_{n}\right)$ 其中 $\lambda_{1}, \cdots, \lambda_{n}$ 为 $|\lambda A-B|=0$ 的 $n$ 个实根。并且若 $B$ 正定，则 $\lambda_{i}>0, i=1, \cdots, n$
例3.15设 $A，B$ 均为 $n$ 阶实对称阵，且 $A$ 正定，证明 $A-B$ 半正定的充要条件为 $BA^{-1}$ 的特征值小于等于 $1$ .
例3.21（南京大学08）设 $A$ 是一个 $n$ 阶矩阵， $\operatorname{Tr}(A)=\sum_{i=1}^{n} a_{i i}$ 称为矩阵的迹。
（1）证明相似变换下矩阵的迹不变.
（2）设 $A，B$ 为对称半正定矩阵，证明 $Tr（AB）≥0$ .
（3）设 $A，B$ 为对称半正定矩阵，且 $Tr（AB）=0$ .则 $AB=0$ .
例3.24（中科院05）证明函数 $logdet（.）$ 在对称正定矩阵集上是凹函数，即对于任意两个 $n$ 阶对称正定阵 $A，B$ 及 $\forall \lambda \in[0,1]$ 有
$\log \operatorname{det}(\lambda A+(1-\lambda) B) \geq \lambda \log \operatorname{det}(A)+(1-\lambda) \log \operatorname{det}(B)$
其中 $logdet（A）$ 表示先对 $A$ 取行列式再取自然对数.
例3.28如果 $M_1，M_2$ 是n阶正定矩阵，则 $\frac{2^{n+1}}{\left|M_{1}+M_{2}\right|} \leq \frac{1}{\left|M_{1}\right|}+\frac{1}{\left|M_{2}\right|}$
且等号成立的充要条件为 $M_1=M_2$ .

参考文献

http://www.52gd.org/?p=146

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