一、基本原理

在机器学习中，当维数较高时会出现数据样本稀疏、距离计算困难等问题，这类问题被称为维数灾难(curse of dimensionality)。缓解维数灾难的一个重要途径是降维(dimension reduction)，即通过变换将高维空间转变为低维子空间。
主成分分析(Principal Component Analysis, PCA)是一种最常用的降维方法。若要使用超平面对高维空间进行表达，一般具有以下性质：最大重构性，即样本点到这个超平面距离都足够近；最大可分性，即样本点在超平面上投影尽可能分开。下面即从这两个方面说明：
最大重构性：
原样本点与投影重构的样本点距离为：

其中重构样本点，投影，是新坐标系，是标准正交基向量
考虑到是标准正交基向量，是协方差矩阵，故主成分分析的优化目标为：

最大可分性：
样本点在超平面上的投影是，若使投影点尽可能分开，即使投影后样本点方差最大化，即，次时优化目标可写为：

两者思想实现了统一，下图则显示了这种关系：

样本点在不同方向上投影的方差
PCA算法描述如下：
PCA算法

二、算法实现

以下为PCA算法的具体实现过程，通过奇异值分解(singular value decomposition, SVD)对协方差矩阵做特征值分解，并选取其中主要分量进行数据降维。将二维数据降到一维。

import numpy as np
import matplotlib.pyplot as plt
import scipy.io as spio

def PCA_2D():
    data_2d = spio.loadmat('data.mat')
    X = data_2d['X']
    m = X.shape[0]
    
    X_copy = X.copy()
    X_norm,mu,sigma = Normalize(X_copy)
    
    cov_mat = np.cov(X_norm.T)
    U,S,V = np.linalg.svd(cov_mat)
    
    plt.plot(X[:,0],X[:,1],'bo')
    plt.plot(np.array(mu[0],(mu+S[0]*U[:,0])[0]),np.array(mu[1],(mu+S[0]*U[:,0])[1]),'r-')
    plt.show()
    
    K = 1
    Z = mapData(X_norm,U,K)
    X_rec = recoverData(Z,U,K)

    plt.plot(X_norm[:,0],X_norm[:,1],'bo')
    plt.plot(X_rec[:,0],X_rec[:,1],'ro') 
    for i in range(m):
        plt.plot([X_norm[i,:][0],X_rec[i,:][0]],[X_norm[i,:][1],X_rec[i,:][1]],'--')
    plt.axis('square')
    plt.show()

def Normalize(X):
    n = X.shape[1]
    mu = np.zeros((1,n))
    sigma = np.zeros((1,n))
    mu = np.mean(X,axis=0)
    sigma = np.std(X,axis=0)
    for i in range(n):
        X[:,i] = (X[:,i]-mu[i])/sigma[i]     
    return X,mu,sigma
    
def mapData(X_norm,U,K):
    Z = np.zeros((X_norm.shape[0],K))
    U_reduce = U[:,0:K]
    Z = np.dot(X_norm,U_reduce)
    return Z

def recoverData(Z,U,K):
    X_rec = np.zeros((Z.shape[0],U.shape[0]))
    U_reduce = U[:,0:K]
    X_rec = np.dot(Z,U_reduce.T)
    return X_rec
    
if __name__=='__main__':
    PCA_2D()

下图绘制了原始数据图和数据降维的映射关系，说明了降维过程及其主方向。

原始数据图 降维后的映射关系

PCA同样可用于图片的压缩，以下为通过sklearn的实现过程。

import numpy as np
import matplotlib.pyplot as plt
import scipy.io as spio
from sklearn.decomposition import pca
from sklearn.preprocessing import StandardScaler

def PCA_FACE():
    image_data = spio.loadmat('data_faces.mat')
    X = image_data['X']
    draw_img(X[0:25,:])
    
    scaler = StandardScaler()
    scaler.fit(X)
    x_train = scaler.transform(X)
    
    K = 200
    model = pca.PCA(n_components=K).fit(x_train)
    Z = model.transform(x_train)
    U_reduce = model.components_
    draw_img(U_reduce[0:25,:])
    
    X_rec = np.dot(Z,U_reduce)
    draw_img(X_rec[0:25,:])
    
def draw_img(imgdata):
    num = 0
    
    m,n = imgdata.shape
    width = int(round(np.sqrt(n)))
    height = int(n/width)
    rows = int(np.floor(np.sqrt(m)))
    cols = int(np.ceil(m/rows))
    
    pad = 1
    draw_arr = -np.ones((pad+rows*(height+pad),pad+cols*(width+pad)))
    for i in range(rows):
        for j in range(cols):
            max_val = max(np.abs(imgdata[num,:]))
            draw_arr[pad+i*(height+pad):pad+i*(height+pad)+height,pad+j*(width+pad):pad+j*(width+pad)+width] = imgdata[num,:].reshape(height,width,order='F')/max_val
            num += 1
    plt.imshow(draw_arr)
    plt.axis('off')
    plt.show()    
    
if __name__=='__main__':
    PCA_FACE()

下图分别为原图、压缩后的图、恢复后的图，说明了PCA的在图片压缩的作用。

原图 压缩后的图 恢复后的图

另外，可以通过mglearn模块直观说明PCA的过程。

import mglearn
mglearn.plots.plot_pca_illustration()

参考资料

[1] https://github.com/lawlite19/MachineLearning_Python
[2] 周志华 著. 机器学习. 北京:清华大学出版社,2016
[3] 李航 著. 统计学习方法. 北京:清华大学出版社,2012
[4] 史春奇等 著. 机器学习算法背后的理论与优化. 北京:清华大学出版社,2019
[5] Peter Harrington 著. 李锐等 译. 机器学习实战. 北京:人民邮电出版社,2013

何处是归程？长亭更短亭。——李白《菩萨蛮》