高中数学纲目

不等式客观题：2022年新高考数学题9

2022-06-19 本文已影响0人易水樵

2022年新高考数学题9

已知 $x \gt 0,\; y\gt 0$ ，且 $x+2y=2$ ，则

$A.\;xy$ 的最小值是 $1$

$B.\;x^2+y^2$ 的最小值是 $\dfrac{4}{5}$

$C.\;2^x+4^y$ 的最小值是 $4$

$D.\;\dfrac{1}{x}+\dfrac{2}{y}$ 的最小值是 $5$

【解析】

$x+2y \geqslant 2 \sqrt{x \cdot 2y}$

$\Rightarrow\; \sqrt{xy} \leqslant \dfrac{1}{\sqrt{2}}$

若 $y=2^{-9}$ , 则 $x=2(1-y) \lt 2$

$xy \lt 2^{-8} \lt 1$

所以，选项A错误；

$2^x+4^y=2^x+2^{2y} \geqslant 2 \sqrt{2^x \cdot 2^{2y}}$

$2^x \cdot 2^{2y} = 2^{x+2y} = 2^2$

$\Rightarrow\; 2^x+4^y \geqslant 3$

所以，选项C正确；

$\dfrac{1}{x}+\dfrac{2}{y} \geqslant \dfrac{2\sqrt{2}}{\sqrt{xy}}$

$\sqrt{xy} \leqslant \dfrac{1}{\sqrt{2}} \Rightarrow \dfrac{1}{\sqrt{xy}} \geqslant \sqrt{2}$

$\Rightarrow \dfrac{1}{x}+\dfrac{2}{y} \geqslant 4$

所以，选项D正确；

选项B的正确性可以用几何法判断；

在平面直角坐标系中， $x+2y=2$ 代表一条直线，该直线与坐标轴的交点为： $A(2,0), B(0,1)$ .

$|AB| = \sqrt{5}$

$S_{\triangle OAB} = \dfrac{1}{2} \times 1 \times 2 =1$

记原点 $O$ 与 $AB$ 的距离为 $d$ , 则 $d= \dfrac{2 S_{\triangle OAB}} {|AB|} = \dfrac{2}{\sqrt{5}}$

$d^2=\dfrac{4}{5} \Rightarrow\; x^2+y^2 \geqslant \dfrac{4}{5}$

所以，选项 B 正确；

综上所述，正确选项为：BD.

【提炼与提高】

建立平面直角坐标系之后，既可以用代数方法解决几何问题，也可以用几何方法解决代数问题。

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